Matemáticas SAT: 3 preguntas sobre desigualdades

Question

Estos 3 problemas de matemáticas del SAT deberían ser sencillos, pero no los entiendo

1.

x no puede ser 2 porque no se puede dividir por 0. Eso significa que B, C y D deben ser incorrectas. Eso significa que A debería ser correcto. Sin embargo, si introduces x=6, por ejemplo, obtienes 12/4, que es menos que 6. Eso significa que todas las opciones de respuesta son incorrectas. Pero la clave de respuestas dice que C es correcta.

¿Alguna explicación?

2.

Sé que |p-q| <= 3 y -12<p+q<30. El libro dice que la respuesta es la A. Pero no estoy de acuerdo porque si se introduce 16 para q, el gran valor de p sería 19 según la primera ecuación. Cuando sumas 19+16, entonces es 34, y mayor que 30. Yo elegí la D.

¿Alguna explicación?

3.

Según la pregunta, G:H es 4:5, lo que equivale a 8:10. H:J es 10:17. Dado que la mitad de las personas que votaron por el candidato H habían votado en cambio por el candidato J, la nueva proporción de H:J debería ser 5:22. Y para mantener la proporción entre G:H consistente la he cambiado a 4:5. Esto significa que la proporción J:G debería ser 22:4 u 11:2, lo que no es una respuesta. El libro dice que la respuesta correcta es la D, olvidando cambiar los votos para G después de cambiar H:J.

¿Alguna explicación?

Muchas gracias. Que tenga un buen día.

Answer 1

La desigualdad $$\frac{x+6}{x-2} > 6$$ tiene el conjunto de soluciones $$2 < x < \frac{18}{5}$$ de verdad $x$ . Ya que se nos dice que $x$ es un número entero, se deduce que la solución única es $x = 3$ . Todas las opciones son incorrectas.

La solución completa de la desigualdad es la siguiente. Consideramos dos casos, $x > 2$ y $x < 2$ . En la primera, tanto el numerador como el denominador son estrictamente positivos, por lo que $$x + 6 > 6(x-2) = 6x - 12,$$ y obtenemos $2 < x < \frac{18}{5}$ recordando que esto corresponde sólo al primer caso. En el segundo caso, obtenemos $$x + 6 < 6(x-2) = 6x - 12,$$ por lo que $(x > \frac{18}{5}) \cap (x < 2) = \emptyset$ y no hay tal $x$ .

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Para su segunda pregunta, el requisito de que $|p-q| \le 3$ no significa que debamos tener $p > q$ . Sin duda, podemos elegir $p < q$ . Si $q = 16$ entonces $p = 13$ es admisible, y $p + q = 29$ que está entre $-12$ y $30$ . Pero no podemos elegir $q = 17$ desde entonces $p = 14$ es el más pequeño permitido $p$ y $14 + 17 > 30$ .

La solución formal procede como sigue. Debemos tener $$-3 \le p - q \le 3, \\ -12 \le p + q \le 30.$$ Entonces $$-3 + q \le p \le 3 + q$$ de la primera ecuación, y la sustitución en la segunda da $$(-12 \le -3 + 2q \le 30) \cup (-12 \le 3 + 2q \le 30),$$ o de forma equivalente $$(-\tfrac{9}{2} \le q \le \tfrac{33}{2}) \cup (-\tfrac{15}{2} \le q \le \tfrac{27}{2}).$$ La unión de estos intervalos es $$-\frac{15}{2} \le q \le \frac{33}{2}$$ y cuando se restringe a números enteros, se convierte en $$-7 \le q \le 16$$ como se ha reclamado.

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Para la tercera pregunta, la forma de pensar en ella es considerar una cohorte determinista de votantes que siguen las proporciones especificadas. Ya has hecho el primer paso convirtiendo el $G:H$ relación. El ratio compuesto es entonces $$G:H:J = 8 : 10 : 17$$ antes de la hipotética redistribución de los votantes de $H$ a $J$ . Esto significa que en una cohorte de $8 + 10 + 17 = 35$ votantes, $8$ votó por $G$ , $10$ votó por $H$ y $17$ votó por $J$ . Si la mitad de los $10$ votantes para $H$ en cambio, cambiaron sus votos por $J$ entonces la nueva relación entre los mismos $35$ los votantes es simplemente $$G : H : J = 8 : 5 : 22.$$ La relación resultante $J : G$ es ahora $22 : 5$ . Su error fue pensar que la relación entre $G : H$ después de la redistribución sigue siendo la misma que antes de la redistribución; es evidente que no puede. Como la mitad de los votantes que votaron por $H$ fueron redistribuidos a $J$ el nuevo ratio para $G:H$ debe ser ahora $4 : 2.5$ o $8 : 5$ no $4 : 5$ .

Answer 2

El propósito del SAT, o de una prueba relacionada, es comprobar si se han aprendido las habilidades básicas y no perfeccionarlas para ver los fallos en los problemas. Con esto en mente la respuesta estilo SAT es:

Para la primera pregunta: Lo que se da es $$ \frac{x + 6}{x - 2} > 6$$ que es esencialmente $x + 6 > 6 x - 12$ y se convierte en $18 > 5 x$ . Ahora $x$ satisface $$ x < \frac{18}{5} = 3 + \frac{3}{5}.$$ De los gráficos dados de $x$ rangos de valores entonces (C) sería la respuesta.