Continuidad de la función $f(x)=x^{2}+2x-2$ si $x\in\mathbb{Q}$ y $f(x)=3x$ si $x\in\mathbb{I}$

Question

Necesito ayuda con lo siguiente.

Dejemos que $f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}$ definido por $f(x)=x^{2}+2x-2$ si $x\in\mathbb{Q}$ y $f(x)=3x$ si $x\in\mathbb{I}$

Necesito determinar los puntos donde $f$ es continua y los puntos donde $f$ es discontinua.

Estoy muy confundido, ¿alguna ayuda?

Answer 1

La función es continua siempre que $ x^2 + 2x - 2 = 3x $ . Si $ x = x_0 $ satisface esta igualdad, entonces el límite existe en $ x_0 $ .

Si $ x^2 + 2x - 2 = 3x $ , entonces tomando cualquier secuencia de aproximación de números reales $ x $ y aplicando $ f $ a los miembros de la secuencia dará lugar a dos subsecuencias dependiendo de si los miembros de la secuencia son racionales o no. Sin embargo, ambas subsecuencias se aproximan al valor de $ f(x) $ porque las dos partes de la función a trozos son a su vez continuas.

Si no es el caso que $ x^2 + 2x - 2 = 3x $ , entonces las dos subsecuencias no se acercarán al mismo valor.

Por lo tanto, es continua en $ x = -1, 2 $ .

Por cierto, $ \mathbb{I} $ denota típicamente el conjunto de números imaginarios puros. Sería más apropiado utilizar simplemente $ \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} $ .