Comportamiento en el límite de los productos de Blaschke finitos en el círculo unitario

Question

Es bien sabido que un producto de Blaschke finito $$B(z)=\prod_{k=1}^n\left(\dfrac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z}\right),\,\,\,\,\,\,\,\forall a_k\in\Bbb{D}$$ tiene exactamente $n$ distintas per-imágenes de cualquier $\lambda\in\partial\mathbb{D}.$
Llevémoslos $(x_k)_{k=1}^n\in\mathbb{D},$ donde $\arg x_1\lt\arg x_2\lt\cdots\lt\arg x_n\lt2\pi+\arg x_1.$

¿Cómo puedo demostrar que cada arco $[x_k, x_{k+1})$ ¿mapas biyectadas en el círculo unitario?

He pensado que podemos utilizar el hecho de que la derivada de $B$ nunca desaparece en el círculo unitario. $$|B^{'}(z)|=\sum_{k=1}^n\dfrac{1-|a_k|^2}{|z-a_k|^2}\gt 0,\,\,\,\,\,\,\,\forall z\in\partial\Bbb{D}.$$ Pero no he podido averiguar una relación entre estas propiedades.
¿Puede alguien ayudarme a probar esto?
¿Al menos una pista al respecto?

Answer 1

El argumento abstracto de Daniel es más elegante. Sin embargo, si quieres hacerlo a mano, aquí tienes una sugerencia: Sin tomar valores absolutos tenemos:

$$\frac{B'(z)}{B(z)} = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{z-a_k} + \frac{\overline{a}_k}{1-\overline{a}_k z} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{1-|a_k|^2}{(z-a_k)(1-\overline{a}_k z)}$$ El camino $z=e^{it}$ entonces se asigna a
$$\frac{B'(z)}{B(z)} = e^{-it} \sum_{k=1}^n \frac{1-|a_k|^2}{|e^{it}-a_k|^2}$$ o si planteamos $B(t)=e^{i\phi(t)}$ : $$\phi'(t) = -i \frac{1}{B}\frac{dB}{dt}=z \frac{B'(z)}{B(z)} = \sum_{k=1}^n \frac{1-|a_k|^2}{|e^{it}-a_k|^2} >0$$ El argumento de $B(z(t))$ es por tanto monótonamente creciente con $t$ . El hecho de que se enrolle alrededor de $n$ Los tiempos pueden ser vistos desde el cálculo de $$\int_0^{2\pi} \phi'(t)\frac{dt}{2\pi} = \int_0^{2\pi} \frac{1}{B}\frac{dB}{dt} \frac{dt}{2\pi i}= \oint \frac{B'(z)}{B(z)}\frac{dz}{2\pi i} = \oint \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{z-a_k} + \frac{\overline{a}_k}{1-\overline{a}_k z} \right) \frac{dz}{2\pi i} = n$$ utilizando la primera fórmula y el cálculo de residuos (hay $n$ polos dentro del contorno).

Un argumento más sencillo es que debe ser un múltiplo entero de $2\pi$ y dependen continuamente de la $a_k$ 's. Así que ahora dejemos que todos $a_k\rightarrow 0$ y terminas con $B(z)=z^n$ para el que el resultado es obvio.