Necesito entender cómo funciona el producto de los ciclos. El libro de texto al que me refiero sólo da explicaciones para productos sencillos y sólo responde para los más grandes. estaría muy agradecido si alguien me puede explicar cómo funcionan los productos de este tipo:
$(1532)(14)(35)$
algún enlace relevante donde pueda leer y entender también funcionará.
Aman
Obsérvese que diferentes autores definen la multiplicación de permutaciones de forma diferente; es de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. La distinción es si definimos $f \circ g$ como $x \mapsto f(g(x))$ o $x \mapsto g(f(x))$ . Comprueba con tus apuntes/libros cuál debes utilizar.
Podemos dibujar los puntos y su ubicación de la siguiente manera:
Entonces sólo tenemos que seguir los caminos para encontrar \begin {align*} 1 & \mapsto 3 \\ 2 & \mapsto 4 \\ 3 & \mapsto 2 \\ 4 & \mapsto 1 \\ 5 & \mapsto 5. \\ \end {align*} Podemos convertir esto en notación de ciclo $(1324)(5)$ o $(1324)$ para abreviar.
El dibujo ahora se ve así:
De nuevo, sólo tenemos que seguir los caminos para encontrar \begin {align*} 1 & \mapsto 4 \\ 2 & \mapsto 1 \\ 3 & \mapsto 3 \\ 4 & \mapsto 5 \\ 5 & \mapsto 2. \\ \end {align*} Podemos convertir esto en notación de ciclo $(1452)(5)$ o $(1452)$ para abreviar.
La idea es evaluar repetidamente hasta llegar al punto de partida. Podemos empezar con $1$ y ver a dónde nos lleva. $(3\:5)$ deja $1$ solo, entonces $(1\:4)$ envía $1$ a $4,$ y luego $(1\:5\:3\:2)$ deja $4$ solo. Así, $(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)$ envía $1$ a $4$ .
A continuación, evaluamos en $4$ . $(3\:5)$ deja $4$ solo, entonces $(1\:4)$ envía $4$ a $1,$ y luego $(1\:5\:3\:2)$ envía $1$ a $5.$ Así, $(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)$ envía $4$ a $5$ .
A continuación, evaluamos en $5$ . $(3\:5)$ envía $5$ a $3$ entonces $(1\:4)$ deja $3$ solo, y luego $(1\:5\:3\:2)$ envía $3$ a $2.$ Así, $(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)$ envía $5$ a $2$ .
A continuación, evaluamos en $2$ . $(3\:5)$ deja $2$ solo, al igual que $(1\:4),$ y luego $(1\:5\:3\:2)$ envía $2$ a $1.$ Así, $(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)$ envía $2$ a $1$ Y así volvemos al punto de partida.
Lo único que queda por comprobar es lo que ocurre con $3$ y deberías ser capaz de ver que $3$ se envía a $5,$ entonces $5$ se deja solo, entonces $5$ se envía a $3,$ y así $(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)$ deja efectivamente $3$ solo.
Así, $$(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)=(1\:4\:5\:2)(3)=(1\:4\:5\:2).$$
En general, haremos lo mismo hasta que tengamos todos los números disponibles puestos en ciclos disjuntos.
Añadido : El post de Babak me recuerda que algunos libros de texto hacen una composición de izquierda a derecha. Mi respuesta anterior asume una composición de derecha a izquierda, por lo que $$(1\:3)(2\:3\:5)=(1\:3\:5\:2),$$ por ejemplo. Si por el contrario, está utilizando la composición de izquierda a derecha, de modo que $$(1\:3)(2\:3\:5)=(1\:5\:2\:3),$$ entonces adoptaremos un enfoque similar al anterior, pero abordando los ciclos en el orden inverso. En particular, por ejemplo, $(1\:5\:3\:2)$ envía $1$ a $5,$ entonces $(1\:4)$ deja $5$ solo, entonces $(3\:5)$ envía $5$ a $3$ . Así, $(1\:5\:3\:2)(1\:4)(3\:5)$ envía $1$ a $3.$ (Y así sucesivamente.)
Tendrá que determinar qué convención utiliza su libro de texto.
La notación varía a veces, pero la forma que encuentro más fácil de pensar es (usando tu ejemplo): $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}.$$
La forma de leer lo anterior es como una composición de funciones que golpean su permutación, de derecha a izquierda. Así, la primera permutación mueve tres a cinco y cinco a tres, lo que se abrevia $(35)$ o $(53)$ (cualquiera de ellas). Luego se pasa a la siguiente permutación. A mí me resulta más fácil pensar en mi cabeza (por ejemplo) "cuatro va a uno y uno va a cinco, así que cuatro va a cinco". Para más información y una mejor explicación, consulte http://people.math.sfu.ca/~jtmulhol/math302/notas/4-Permutaciones-CycleForm.pdf .
$$\begin{array}{} I:(1\,5\,3\,2)&II:(1\,4)&III:(3\,5)\\ \hline 1\mapsto 5&1\mapsto 4&1\mapsto 1\\ 2\mapsto 1&2\mapsto 2&2\mapsto 2\\ 3\mapsto 2&3\mapsto 3&3\mapsto 5\\ 4\mapsto 4&4\mapsto 1&4\mapsto 4\\ 5\mapsto 3&5\mapsto 5&5\mapsto 3 \end{array}$$
$I\times II$ : $(1\,5\,3\,2)(1\,4)$
$$\begin{align*} &(1\overset{I}\longmapsto 5)(5\overset{II}\longmapsto 5)\implies(1\overset{I\times II}\longmapsto 5)\\ &(2\overset{I}\longmapsto 1)(1\overset{II}\longmapsto 4)\implies(2\overset{I\times II}\longmapsto 4)\\ &(3\overset{I}\longmapsto 2)(2\overset{II}\longmapsto 2)\implies(3\overset{I\times II}\longmapsto 2)\\ &(4\overset{I}\longmapsto 4)(4\overset{II}\longmapsto 1)\implies(4\overset{I\times II}\longmapsto 1)\\ &(5\overset{I}\longmapsto 3)(3\overset{II}\longmapsto 3)\implies(5\overset{I\times II}\longmapsto 3)\\ \end{align*}$$
$(I\times II)\times III$ :
$$\begin{align*} &(1\overset{I\times II}\longmapsto 5)(5\overset{III}\longmapsto 3)\implies(1\longmapsto 3)\\ &(2\overset{I\times II}\longmapsto 4)(4\overset{III}\longmapsto 4)\implies(2\longmapsto 4)\\ &(3\overset{I\times II}\longmapsto 2)(2\overset{III}\longmapsto 2)\implies(3\longmapsto 2)\\ &(4\overset{I\times II}\longmapsto 1)(1\overset{III}\longmapsto 1)\implies(4\longmapsto 1)\\ &(5\overset{I\times II}\longmapsto 3)(3\overset{III}\longmapsto 5)\implies(5\longmapsto 5)\\ \end{align*}$$
Así es: $$1\longrightarrow 3\\2\longrightarrow 4\\3\longrightarrow 2\\4\longrightarrow 1\\5\longrightarrow 5\\.......\\(1,3,2,4)$$
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