¿Cómo puedo demostrar que $p\mid {p\choose k}$ si $gcd(p,k)=1$ ?

Question

Supongamos que tenemos que demostrar que $p \mid {p\choose k}$ si $(p,k)=1$ . Sin utilizar el teorema fundamental de la aritmética, ¿es posible demostrarlo?

Estoy pensando en utilizar los siguientes pasos:

1. Expresando $p\choose k$ como $\frac{p(p-1)!}{(p-k)!k!}$ podemos demostrar p que $p\choose k$ es un múltiplo de p, y la afirmación es inmediatamente verdadera.
2. Pero el problema es que no sé si $\frac{(p-1)!}{(p-k)!k!}$ es una fracción, en cuyo caso me equivocaré.

Answer 1

Ya casi está. Utilice $$k{p\choose k} =p\frac{(p-1)!}{(p-k)!(k-1)!}$$ y el hecho de que el lado derecho es $p$ por otro coeficiente binomial.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \binom{p}{k}=\frac pk\binom{p-1}{k-1} $$ Si $(p,k)=1$ , La identidad de Bezout dice que hay $x,y\in\mathbb{Z}$ para que $$ px+ky=1 $$ Entonces $$ \binom{p}{k}=p\left[y\binom{p-1}{k-1}+x\binom{p}{k}\right] $$

Answer 3

Supongo que quieres decir que $p$ es un número primo. Recuerda que si $p \wedge a=1$ y $p\wedge b=1$ entonces $p \wedge (ab)=1$ . ( se deduce del teorema de Bezout )

Obsérvese que $$ k!\binom{p}{k}=p\left(p-1\right) \dots \left(p-k+1\right) $$ Por lo tanto, $$ p \ | \ k!\binom{p}{k} $$ Usando eso $p \wedge k=1$ para todos $k \in [1,p]$ entonces $p \wedge k!=1$ . Utilizando el teorema de Gauss

$$ p \ | \ \binom{p}{k} $$