No es necesario demostrar $\lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x) $ .
Podemos demostrar directamente que $ \liminf_{n \to \infty} \int_{U}f_n(x)dx \geq \int_{U}f(x)dx\:$ para cualquier conjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}$ .
He aquí, en detalle, una forma sencilla de demostrarlo.
Desde $f_1, f_2, \cdots$ y $f$ son funciones integrables en $\mathbb{R}$ tenemos para todo $y \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ y para todos $n$ $$-\infty<\int_{-\infty}^y f_n(x)dx <+\infty $$ y $$-\infty<\int_{-\infty}^y f(x)dx <+\infty $$ Así que tenemos para cada $a \in \mathbb{R}$ Cada $b \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ y $a<b$ y para todos $n$ $$\int_a^b f_n(x)dx=\int_{-\infty}^b f_n(x)dx - \int_{-\infty}^a f_n(x)dx$$ y $$\int_a^b f(x)dx=\int_{-\infty}^b f(x)dx - \int_{-\infty}^a f(x)dx$$ y también tenemos, para cada $y \in \mathbb{R}$ , $$\lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^y f_n(x)dx = \int_{-\infty}^y f(x)dx <\infty$$
Así, por cada $a \in \mathbb{R}$ Cada $b \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ y $a<b$ tenemos $$\lim_{n \to \infty}\int_a^b f_n(x)dx=\lim_{n \to \infty}\left(\int_{-\infty}^b f_n(x)dx - \int_{-\infty}^a f_n(x)dx\right)=\\ =\lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^b f_n(x)dx - \lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^a f_n(x)dx = \\=\int_{-\infty}^b f(x)dx - \int_{-\infty}^a f(x)dx=\int_a^b f(x)dx $$
Así, para cualquier intervalo abierto $(a,b)$ (donde $a \in \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ , $b \in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ y $a<b$ ), tenemos
$$\lim_{n \to \infty}\int_{(a,b)} f_n(x)dx=\lim_{n \to \infty}\int_a^b f_n(x)dx=\int_a^b f(x)dx= \int_{(a,b)} f(x)dx$$
Ahora, dejemos que $U$ sea cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}$ . Dado que cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es la unión disjunta contable de intervalos abiertos, por lo que supongamos que $U=\sum_{i=0}^m I_i$ , donde $I_i$ son intervalos abiertos disjuntos.
Si $m<+\infty$ tenemos
$$\lim_{n \to \infty}\int_{U} f_n(x)dx= \int_{U} f(x)dx$$ y así $$ \liminf_{n \to \infty} \int_{U}f_n(x)dx \geq \int_{U}f(x)dx $$
Si $m=+\infty$ entonces, ya que $f_1, f_2, \cdots$ son finciones no negativas, tenemos, para todo $n$ y para todos $k\in\mathbb{N}$ $$ \int_{U}f_n(x)dx \geqslant \int_{\sum_{i=0}^k I_i}f_n(x)dx$$ Así que tenemos, para cualquier $k\in\mathbb{N}$ $$ \liminf_{n \to \infty} \int_{U}f_n(x)dx \geqslant \liminf_{n \to \infty} \int_{\sum_{i=0}^k I_i}f_n(x)dx = \lim_{n \to \infty} \int_{\sum_{i=0}^k I_i}f_n(x)dx= \int_{\sum_{i=0}^k I_i}f(x)dx $$ Así que $$ \liminf_{n \to \infty} \int_{U}f_n(x)dx \geq \lim_{k \to \infty}\int_{\sum_{i=0}^k I_i}f(x)dx =\int_{U}f(x)dx $$
Observación: Por otro lado, si suponemos que $f_1, f_2, \cdots$ y $f$ son sólo funciones semi-integrables no negativas (lo que significa que sus integrales pueden ser $+\infty$ ), puede que no sea cierto que $ \liminf_{n \to \infty} \int_{U}f_n(x)dx \geq \int_{U}f(x)dx\:$ para cualquier conjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}$ . Para un ejemplo trivial, consideremos las funciones constantes: para todo $n$ , $f_n= 1$ y $f= 2$ .
