La forma más rápida de resolver una EDP con variación de parámetros

Question

Tengo una pregunta de examen para resolver la siguiente EDP: $$x^2y^{''}-4xy^{'}+6y=21x^{-4}$$ Se supone que este problema se resuelve mediante el método de variación de parámetros (Wronskian). Para encontrar la solución de la parte homogénea he utilizado el método de Euler cauchy, pero resulta que se vuelve muy intensivo computacionalmente. ¿Cuál es la forma más rápida (y menos propensa a errores) de hacerlo? (Con la variación de los parámetros)

Answer 1

Suponiendo que el problema sea $$x^2y''-4xy'+6y=21x^{-4}$$ Para la ecuación homogénea, supongamos $y=x^a$ y reemplazar. Esto le permite con $$(a-3) (a-2) x^a=0$$ Por lo tanto, usted tiene $$y=c_1x^2+c_2x^3$$

Answer 2

Después de encontrar las soluciones de la correspondiente EDO homogénea, se puede encontrar $y_p$ por variación de parámetros, entonces la solución general de la EDO original es la suma de $y_p$ y una combinación lineal general del $x^2$ y $x^3$ .

Alternativamente, se supone que las soluciones generales son algo así como $y=v*x^2$ ( $x^2$ es una solución de la correspondiente oda homogénea, y $v$ es una función de $x$ ). Entonces, $y'=v'*x^2+2vx$ y $y''=v''*x^2+4v'x+2v$ . Sustituyendo $y$ y sus derivados en la oda original, se termina con $v"=21x^{-8}$

Integrar dos veces para obtener $v$ y multiplicar por $x^2$ para conseguir $y$ .

Espero que esto ayude