Demostrar que el grupo de automorfismo del grupo simétrico sobre tres elementos es soluble (soluble)

Question

La definición de soluble (solvable)

Un grupo G se llama soluble si tiene una serie subnormal cuyos grupos factoriales son todos abelianos, es decir, si hay subgrupos $\{1\}=G_r\leq G_{r-1}\leq\cdots\leq G_0=G$ tal que $G_{j+1}$ es normal en $G_j$ y $G_{j}/G_{j+1}$ es un grupo abeliano, para $j=0,1,2\dots,r-1$ .

Sé que $S_3$ es un grupo soluble pero cuando se trata del grupo de todos los automorfismos $S_3\to S_3$ no pude demostrar que este grupo es solucionable.

Cualquier sugerencia sería genial, ya que no tengo ni idea de cómo hacerlo. ¿Cómo podemos demostrar que hay un subgrupo del grupo de todos los isomorfismos de $S_3\to S_3$ que satisface la condición anterior? ¿O hay algún teorema o lema más sencillo que se pueda utilizar?

Answer 1

He aquí una alternativa que no implica encontrar precisamente cuál es el grupo de automorfismo:

Desde $S_3$ está generada por los elementos de orden $2$ cualquier automorfismo está determinado únicamente por lo que hace a estos elementos. Como un automorfismo debe permutar los elementos de orden $2$ y hay $3$ tales elementos, esto significa que hay como máximo $3! = 6$ posibilidades de los automorfismos.

Que todos los grupos de orden como máximo $6$ son resolubles es un ejercicio fácil.

Answer 2

Una pista: $\operatorname {Aut}(S_3) \cong S_3$ , trata de probarlo primero.

Answer 3

La respuesta de Nicky te da la pista, y yo intentaré dar la pista a la pista.

Puede que sepas que $\;S_3=\langle (12)\,,\,(123)\,\rangle\;$ y como un automorfismo mantiene invariable el orden de los elementos, se tiene

$$\begin{align*}\phi_1:&(12)\mapsto (12)&,\;\;\;(123)\mapsto (123)\\ \phi_2:&(12)\mapsto (12)&, \;\;\;(123)\mapsto (132)\\ \phi_3:&(12)\mapsto(13)&,\;\;\;(123)\mapsto (123)\\\text{etc.}&\ldots\end{align*}$$