Error de razonamiento en el problema del valor inicial

Question

Dejemos que $y(x)$ sea la solución del problema de valor inicial:

$y''y=(y')^2$

$y(0)=1, y'(0)=2$

Estoy muy cerca de la respuesta correcta, pero hay un error en mi razonamiento, y me gustaría saber dónde:

Definamos $z=y'$ .

$y''=z \frac{dz}{dy}$ .

Por lo tanto, z $\frac {dz}{dy}y=z^2$

$z dz=\frac{z^2}{y}dy$

$\frac{dz}{z}=\frac{1}{y}dy$

Por lo tanto, $lnz=lny$ , lo que significa que la derivada es idéntica a la función original.

Y por lo tanto $y = e^x$ .

Sé que la respuesta correcta es $y=e^{2x}$ Así que estoy cerca, pero hay un error en alguna parte. Sospecho que es en el último paso, pero no estoy seguro de cuál debería ser la alternativa correcta

Gracias.

Answer 1

Has olvidado la constante de la integración. Debes obtener ln z = ln y + k donde k es una constante. De las condiciones de contorno k = ln 2.

Answer 2

$$\frac{dz}{z}=\frac{dy}{y}\implies \ln z=\ln cy$$

Así, $$y'=cy$$

$$y=Ke^{cx}$$

La condición inicial da como resultado $$y=e^{2x}$$