Dejemos que $p$ sea un primo impar, y sea $n$ sea un número natural tal que $p| n^2 -2n +2$ . Demuestre que existe un $m$ tal que $p^2|m^2 -2m+2$ . Se supone que esto es un ejercicio del Lemma de Hensel, pero no sé cómo aplicarlo.
Respuesta
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Desde $p \mid n^2 - 2n + 2$ entonces
$$n^2 - 2n + 2 = ip^2 + jp, \; i,j \in \mathbb{Z}, \; 0 \le j \le p -1 \tag{1}\label{eq1A}$$
Si $j = 0$ entonces puede elegir simplemente $m = n$ con lo que se puede comprobar $m^2 - 2n + 2$ o $m^2 - 2m + 2$ siendo divisible por $p^2$ .
Si no, considere el caso de pedir que se pruebe un $m$ existe tal que $p^2 \mid m^2 - 2n + 2$ , tal y como se planteaba en el texto original de la pregunta. Sin embargo, cuando releí tu pregunta más tarde y me di cuenta de que decías que era para un ejercicio con El lema de Hensel Me doy cuenta de que probablemente no quisiste decir esto. No obstante, dejo esta primera parte para que lo sepan todos los que estén interesados.
Nota ya que $p$ es impar, entonces $p \not\mid n$ Así que $n$ tiene un inverso multiplicativo módulo $p^2$ . Dejemos que $k$ sea este, es decir, así
$$kn \equiv 1 \pmod{p^2} \implies kn = qp^2 + 1 \tag{2}\label{eq2A}$$
para algunos $q \in \mathbb{Z}$ . A continuación, si $j$ es par, que
$$r = \frac{j}{2} \tag{3}\label{eq3A}$$
Si no, si $j$ es impar, dejemos que
$$r = \frac{j + p}{2} \tag{4}\label{eq4A}$$
A continuación, dejemos que
$$m = n + krp \tag{5}\label{eq5A}$$
para conseguir
$$\begin{equation}\begin{aligned} m^2 - 2n + 2 & = (n - krp)^2 - 2n + 2 \\ & = n^2 - 2krpn + (kr)^2(p^2) - 2n + 2 \\ & = n^2 - 2n + 2 - 2rp(kn) + (kr)^2(p^2) \\ & = ip^2 + jp - 2rp(qp^2 + 1) + (kr)^2(p^2) \\ & = ip^2 + jp - 2rqp^3 - 2rp + (kr)^2(p^2) \\ & = (i - 2rqp + (kr)^2)(p^2) + (j - 2r)p \end{aligned}\end{equation}\tag{6}\label{eq6A}$$
Con cualquiera de los dos \eqref {eq3A} tienes que $(j - 2r)p = 0$ mientras que para \eqref {eq4A}, tienes que $(j - 2r)p = -p^2$ . En cualquier caso, se puede ver que
$$p^2 \mid m^2 - 2n + 2 \tag{7}\label{eq7A}$$
según lo solicitado.
A continuación, considere la otra posibilidad de mostrar que hay una $m$ tal que $p^2 \mid m^2 - 2m + 2$ . Tenga en cuenta, en \eqref {eq1A}, que $n \not\equiv 1 \pmod p$ que equivale a la Declaración alternativa que, con $f(n) = n^2 - 2n + 2$ , usted tiene $f'(n) \not\equiv 0 \pmod p$ desde $f'(n) = 2n - 2 = 2(n-1)$ .
Con el lema, básicamente se termina de mostrar un $m$ existe. Sin embargo, para determinar cuál es la $m$ son, el argumento en el Derivación aplicada a su polinomio, es básicamente la siguiente.
Hay una solución $a$ a la ecuación de congruencia
$$2a(n-1) \equiv -j \pmod p \implies 2a(n-1) = qp - j \tag{8}\label{eq8A}$$
para algunos $q \in \mathbb{Z}$ . Con $m = n + ap$ Ahora tienes
$$\begin{equation}\begin{aligned} m^2 - 2m + 2 & = (n + ap)^2 - 2(n + ap) + 2 \\ & = n^2 + 2apn + (ap)^2 - 2n - 2ap + 2 \\ & = n^2 - 2n + 2 + (a^2)(p^2) + 2a(n - 1)p \\ & = ip^2 + (a^2)(p^2) + jp + (qp - j)p \\ & = (i + a^2 + q)(p^2) \end{aligned}\end{equation}\tag{9}\label{eq9A}$$
Además, ahora también se obtiene $p^2 \mid m^2 - 2m + 2$ .
