subespacios complementarios/matriz involutiva

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial, $A:V\to V$ una aplicación lineal para la que la matriz asociada satisface $A²=I$ (matriz involuntaria).

Demostrar que $V_1= \{x \in V|\ A(x)= x\}$ y $V_2= \{x \in V|\ A(x)= - x\}$ son subespacios complementarios de $V$ , es decir, $V=V_1+V_2$ y $V_1 \cap V_2= \{0\}$ .

Answer 1

Sugerencia: cada vector $x$ puede escribirse como $x=\frac{1}{2}(x+Ax)+\frac{1}{2}(x-Ax)$ . Uno de los sumandos está en $V_1$ el otro en $V_2$ (¿cuál está en cuál?). Esto muestra $V_1+V_2=V$ . $V_1\cap V_2=\{0\}$ debería ser fácil.