Si Juan puede cobrar un interés simple y reinvertirlo instantáneamente en cualquier instante arbitrario, podemos tener una serie de eventos como los siguientes, donde $y(t)$ es el saldo de la cuenta en el momento $t$ :
En el momento $t_0 = 0,$ la cuenta comienza con saldo $y(0) = 50.$
En el momento $t_1 = 1,$ los intereses del saldo $50$ es $50 \times1(0.02)= 1.$ Reinvirtiendo esto, el saldo se convierte en $y(1) = 51.$
Entre tiempos $t_1=1$ y $t_2=1+\frac{50}{51},$ los intereses del saldo son $51 \times \frac{50}{51}(0.02) = 1.$ Reinvirtiendo esto, el saldo se convierte en $y\left(1+ \frac{50}{51}\right) = 52.$
Entre tiempos $t_2=1+\frac{50}{51}$ y $t_3=1+\frac{50}{51}+\frac{50}{52},$ los intereses del saldo son $52 \times \frac{50}{52}(0.02) = 1.$ Reinvirtiendo esto, el saldo se convierte en $y\left(1+ \frac{50}{51}+\frac{50}{52}\right) = 53.$
Este proceso termina después de exactamente $50$ reinversiones, ya que la cantidad reinvertida cada vez es exactamente $1$ y el objetivo es aumentar el saldo de $50$ a $100.$ La cantidad exacta de tiempo que se necesita es $t$ tal que $$ y(t) = y\left(1+ \frac{50}{51}+\frac{50}{52}+\ldots +\frac{50}{99}\right) = 100. $$
Así que literalmente la pregunta está pidiendo la suma $$t_{50} = 1+ \frac{50}{51}+\frac{50}{52}+\ldots +\frac{50}{99}.$$ Esto puede calcularse tediosamente con una simple calculadora de mano, o algo más fácilmente con una calculadora programable o una hoja de cálculo de software.
La suma también se puede aproximar resolviendo para $t$ en la ecuación $$ e^{0.02t} = 2,\tag1 $$ donde $e$ es la base del logaritmo natural. La solución a esto es $t = 50\ln 2.$
Pero la solución para $t$ en la ecuación $1$ es también una aproximación a la solución para $t$ en $$ 1.02^t = 2. $$ La solución es $$ t = \frac{\ln 2}{\ln 1.02}. $$ De hecho, $\frac{\ln 2}{\ln 1.02}$ y $t_{50}$ están más cerca el uno del otro que cualquiera de ellos de $50\ln 2.$ Por lo tanto, si quieres una respuesta aproximada, es mejor resolver para $t$ en $1.02^t = 2$ que en $e^{0.02t} = 2.$ La diferencia es $\frac{\ln 2}{\ln 1.02} - t_{50} \approx 0.1,$ es decir, el procedimiento de reinversión $1$ unidad de valor a intervalos de tiempo gradualmente decrecientes alcanza la meta en aproximadamente $0.1$ periodos de tiempo menores que el procedimiento de reinversión de cantidades de valor gradualmente crecientes a intervalos de exactamente $1$ período de tiempo, con un período de tiempo fraccionado al final durante el cual el saldo alcanza exactamente $100.$
Esta gran similitud con el resultado del interés compuesto convencional, junto con la relativa torpeza de hacer sumas como $t_{50}$ en lugar de simplemente tomar los poderes de $1.02,$ ayuda a explicar por qué esquemas como el de John no se han dado mucho (o nunca) en la vida real y por qué te será tan difícil encontrarlos descritos en cualquier lugar.
