Demostrar dos identidades relacionadas con las series

Question

Demuestra eso: $$(1). \sum_{n=1}^{\infty}\ln\big(\cos \frac{x}{2^n}\big)=\ln \frac{\sin x}{x}$$

$$(2). \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan \frac{x}{2^n}=\frac{1}{x}-\cot x$$

Gracias de antemano.

NOTA: El problema original (1) que expuse es $\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow \infty}\big(\cos \frac{x}{2^n}\big)=\ln \frac{\sin x}{x}$ lo cual es un error, tal y como se señala en los comentarios más abajo.

Answer 1

Para (1) Considere el producto $P_N = \displaystyle\prod_{n = 1}^{N}\cos\dfrac{x}{2^n}$ . Multiplicar por $\sin\dfrac{x}{2^N}$ y utilizar la identidad $\cos\theta\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sin 2\theta$ repetidamente para conseguir $P_N\sin\dfrac{x}{2^N} = \dfrac{1}{2^N}\sin x$ .

Por lo tanto, $P_N = \dfrac{\sin x}{2^N\sin\frac{x}{2^N}} \to \dfrac{\sin x}{x}$ como $N \to \infty$ . Por lo tanto, $\displaystyle\prod_{n = 1}^{\infty}\cos\dfrac{x}{2^n} = \dfrac{\sin x}{x}$ .

Tome el logaritmo natural de ambos lados para obtener $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\ln\left(\cos\dfrac{x}{2^n}\right) = \ln\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)$ , según se desee.

Para (2) diferenciar ambos lados del resultado de (1) y multiplicar por $-1$ . (Gracias David H por esta sugerencia).

Answer 2

Para el primero :

$$\sum\limits_{n=1}^{N} \ln \cos \frac{x}{2^n} = \ln \prod\limits_{n=1}^{N} \cos \frac{x}{2^n} = \ln \frac{\sin \frac{x}{2^N}\prod\limits_{n=1}^{N} \cos \frac{x}{2^n}}{\sin \frac{x}{2^N}} = \ln \frac{\sin x}{2^N\sin \frac{x}{2^N}}$$

donde, hicimos uso de la identidad: $\sin y \cos y = \frac{1}{2}\sin 2y$ repetidamente.

Tomando el límite como $N \to \infty$ tenemos $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\big(\cos \frac{x}{2^n}\big)=\ln \frac{\sin x}{x}$

Para la segunda utiliza la identidad: $$\tan y = \cot y - 2\cot 2y$$

Así que, $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{N} \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n} = \sum\limits_{n=1}^{N} \frac{1}{2^n}\left(\cot \frac{x}{2^n} - 2\cot \frac{x}{2^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^{N}}\cot \frac{x}{2^N} - \cot x$

Tomando el límite como $N \to \infty$ ,

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n} = \frac{1}{x} - \cot x$$