Esbozo de prueba/verificación - demostrar que un retroceso en un diagrama es un ecualizador.

Question

Nos dan el siguiente diagrama:

Suponemos que la categoría tiene productos y ecualizadores. Dado $E, p_1, p_2$ como un retroceso aquí, buscamos probar que $E,e$ forman un ecualizador de $f \circ \pi_1$ y $g \circ \pi_2$ .

(La suposición de que la categoría tiene productos y el uso de $A \times B$ como objeto viene de que esto es la inversa de un teorema, si tienes curiosidad).

Sobre todo quiero comprobar si lo siguiente lo demostraría.

( Nota: No estoy proporcionando la prueba completa y formal. Se trata más bien de un esbozo de prueba; en este post, estoy comprobando sobre todo si entiendo lo que tengo que demostrar, más que demostrarlo directamente. Probablemente pueda demostrar todo esto por mí mismo, sólo quiero asegurarme de que esto lleva a la conclusión deseada, si es que eso tiene algún sentido. También estoy un poco perdido en el final de la prueba, como lo noto cuando es apropiado).

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Así que lo que creo que tengo que probar y el orden en que lo hago:

• En primer lugar, suponemos que $E, p_1, p_2$ es un retroceso en el diagrama dado.

• A través de esta suposición, demostramos $(f \circ \pi_1) \circ e$ = $(g \circ \pi_2) \circ e$ una de las propiedades de un ecualizador.

• Introducimos un segundo pullback $Z, z_1, z_2$ con flecha $z : Z \rightarrow A \times B$ dado por el pullback y único, y establecer la misma propiedad que antes, es decir $(f \circ \pi_1) \circ z$ = $(g \circ \pi_2) \circ z$

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En este punto estoy un poco perdido. Estoy debatiendo sobre lo que tengo que mostrar...

• ... existe una flecha única $u : Z \rightarrow E$ ...
• ... o que el triángulo en el diagrama de abajo conmuta, es decir $e \circ u = z$

Me parece que ambas cosas podrían ser bastante fáciles de probar con la suposición de que las flechas ecualizadoras, es decir $e$ son monomorfismos, aunque también creo que es una suposición excesiva dado que no hemos demostrado $E,e$ son realmente un ecualizador en este punto todavía.

Supongo que mi punto de fricción es invocar la propiedad universal. Una parte de mí también dice que puedo invocarla ahora mismo, ya que tenemos $E, e$ y $Z, z$ igualar el par de flechas - y sólo establecer la flecha $u$ existe y es único y hace que el triángulo conmute inmediatamente.

¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Dado su primer diagrama, si quiere demostrar que $e:E\to A\times B$ es un ecualizador de $f\pi_1$ y $g\pi_2$ basta con demostrar que para cualquier $z:Z\to A\times B$ con $f\pi_1z=g\pi_2 z$ hay exactamente un morfismo $r:Z\to E$ con $er=z$ .

Así que supongamos que tenemos tal $z$ . Tenga en cuenta que tal $z$ significa que tenemos un cuadrado conmutativo del tipo $(E,p_1,p_2)$ es universal para. Por lo tanto, existe un morfismo único $r:Z\to E$ con $p_1r=\pi_1z$ y $p_2r=\pi_2z$ . Tenga en cuenta que esto no ha dicho lo correcto sobre $e$ (o cualquier cosa sobre $e$ ) todavía. Para conseguirlo, tenemos que utilizar nuestro producto $A\times B$ .

En ese primer diagrama, $e$ es el único mapa tal que $\pi_1e=p_1$ y $\pi_2e=p_2$ . Utilizando estas identidades en las ecuaciones anteriores que describen $r$ la igualdad $p_1r=\pi_1 z$ se convierte en $$\pi_1er=\pi_1z,$$ y de manera similar $p_2r=\pi_2z$ se convierte en $$\pi_2er=\pi_2z.$$ Sin embargo, por la propiedad universal de los productos, hay exactamente uno mapa $q:Z\to A\times B$ con $\pi_1q=\pi_1z$ y $\pi_2q=\pi_2z$ --- es decir, $z$ . Y como el mapa $er$ también satisface esto, tenemos $er=z$ .

Y en caso de que no sea obvio que $r$ al ser la flecha única en el diagrama de retroceso implica que es única en el diagrama de igualación, nótese que si $ej=z$ entonces $\pi_nej=\pi_nz$ y así $p_nj=\pi_nz$ ( $n=1,2$ ). Pero por la propiedad universal del pullback, sólo puede haber un morfismo que satisfaga esas últimas ecuaciones, así que $j=r$ .