Clasificar si el límite converge o diverge y si es acotado o no acotado

Question

$$\left\{\frac{(-1)^n100^n}{n!}\right\}$$

Entonces, sé que $\left\{\frac{100^n}{n!}\right\}$ es una sucesión nula básica, aunque aquí oscilará entre valores negativos y positivos dependiendo de la naturaleza par/impar de $n$. Sin embargo, creo que aún convergerá a $0$ y eventualmente será una sucesión nula. También está acotada. ¿Estoy equivocado?

Answer 1

El teorema del aprieto se hará $$\frac{-100^n}{n!}\leq\frac{(-1)^n100^n}{n!}\leq \frac{100^n}{n!}$$ Ambos de los cuales convergen a cero.

Answer 2

Por la definición formal de límite, decimos que $a_n \to 0$ si para cualquier $\epsilon >0$ existe $n_0 \in \Bbb{N}$ tal que $|a_n|<\epsilon$ para todo $n\geq n_0$. Dado que solo nos preocupa el valor absoluto, el $(-1)^n$ no importa realmente en este caso. Por lo tanto, dado que $\frac {100^n}{n!} \to 0$, también lo hace $\frac {(-1)^n 100^n}{n!}$

Answer 3

Dado que si $|a_n| \to 0$, entonces $a_n \to 0. Supongamos que $a_n \to 0$. Entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $|a_N|<\epsilon$ para cualquier $\epsilon$. Entonces el resultado es claro. Nota que necesitas que el límite sea cero. Por ejemplo, $\{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty}$ no converge, mientras que su valor absoluto claramente sí.

De todas formas, aplica el primer hecho para resolver tu problema.

edit toda secuencia convergente está acotada. Sea $\epsilon>0$, y $a_n$ sea una secuencia que converge a $L$. Hay dos opciones: Existe algún $N$ tal que $n \geq N$ implica que $|a_n-L|<\epsilon$, y por lo tanto $a_n

De lo contrario, toma $\max\{a_1,\ldots,a_{N-1}\}=M_1

Ahora toma $\max\{L+\epsilon, M_1\}$. Claramente esto acota la secuencia $(a_n).