Demostración del hecho de la dominancia exponencial simple

Question

Intento demostrar este simple y muy creíble hecho de dominio exponencial:

Dado $\lambda_{0}\in\left(0,1\right)$ y $k\in\mathbb{N}$ , para $\lambda_{1}\in\left(\lambda_{0},1\right)$ existe una constante $K$ para que $$k\lambda_{0}^{k}\le K\lambda_{1}^{k}.$$

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

$$k \lambda_0^k<K\lambda_1^k$$ $$k\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_1}\right)^k<K$$ Desde $\frac{\lambda_0}{\lambda_1}=a$ es menor que 1, el lado izquierdo alcanza un valor máximo cuando $k>0$ de $\frac1{e\ln\frac1a}=\frac1{e\ln\frac{\lambda_1}{\lambda_0}}$ . Por lo tanto, podemos elegir $K$ como cualquier número mayor que esta última expresión si $\lambda_0$ y $\lambda_1$ son fijos.

Answer 2

Considere la secuencia $$u_{k}=k\left(\frac{\lambda_{0}}{\lambda_{1}}\right)^{k}.$$ Entonces $u_{k}\to0$ como $k\to\infty.$ Fijar $K$ para que $u_{k}\le1$ para $k\ge K$ . Entonces para $k\le K$ tenemos $$k\lambda_{0}^{k}\le K\lambda_{1}^{k}$$ y para $k\ge K$ tenemos $$k\lambda_{0}^{k}\le\lambda_{1}^{k}\le K\lambda_{1}^{k}.$$