Demostrar que el mapa es continuo

Question

Dejemos que $C[a,b]$ sea el conjunto de todas las funciones continuas sobre $[a,b]$ con el $p$ -normas para $p$ en $[1,\infty]$ . Sea $T$ sea el mapeo definido por:

$$T:g \to g^2$$

donde $g$ pertenece a $C[a,b]$ . ¿Es este mapa continuo para todos los $p$ ?

EDIT: El $p$ -se define como $\|g\|_p = (\int_a^b \! |g(x)|^{p} \, \mathrm{d} x)^{1/p}$

EDIT 2: ¿Sería correcto mostrar eso?

$\|Tg-Tf\|_p \le K\|g-f\|_p$ para alguna constante $K$ ?

Answer 1

Este mapa no es continuo para cualquier $p$ .

Sugerencia: Considere una función lineal a trozos con $f(a) = c$ , $f(a+r)=0$ y $f=0$ en $[a+r, b]$ . Calcule el $p$ norma de $f$ y $f^2$ en términos de $c,r$ . A continuación, elija una secuencia de $c_n$ y $r_n$ tal que para las funciones correspondientes $f_n$ , $\|f_n\|_p \to 0$ pero $\|f_n^2\|_p \to \infty$ .