Si $a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}$ entonces $a_n/n$ converge a $0$

Question

Dejemos que $a_{n+1}=a_n+\dfrac1{a_n}$ con $a_n=1$ .

Prueba $\lim \limits_{n\to \infty }\left(\dfrac{a_n}{n}\right)=0$ .

Ahora ya sé que es monotónicamente creciente y que $a_n\to \infty$ como $n\to \infty$ .

He pensado en usar a Cauchy aquí, pero no sé cómo exactamente.

NOTA: El teorema de Stolz-Cesàro está prohibido en esta pregunta. ¿Podría alguien ayudarme con esto, por favor?

Answer 1

Si sabes que $a_n \to \infty,$ se puede aplicar el teorema de Stolz para obtener

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{(n+1)-n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0.$$

Editar : Estoy añadiendo la solución que no utiliza el teorema de Stolz.

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Desde $a_n \to \infty$ , existe tal $N$ que $a_n \geqslant \frac{2}{\varepsilon}$ para $n \geqslant N$ . Así,

$$a_{N+k+1} = a_{N+1} + \frac{1}{a_{N+1}} + \ldots + \frac{1}{a_{N+k}} \leqslant a_{N+1} + k \cdot \frac{1}{a_{N+1}} \leqslant a_{N+1} + k \cdot \frac{\varepsilon}{2}$$

así que

$$\frac{a_{N+k+1}}{N+k+1} \leqslant \frac{a_{N+1}}{N+k+1} + \frac{k}{N+k+1} \cdot \frac{\varepsilon}{2} \leqslant \frac{a_{N+1}}{N+k+1} + \frac{\varepsilon}{2}$$

Para los grandes $k$ tenemos $\frac{a_{N+1}}{N+k+1} < \frac{\varepsilon}{2}$ y por lo tanto $a_{N+k+1} < \varepsilon$ .

Answer 2

Si $a_n$ está acotado, entonces has terminado.

Si no, considera las plazas: $$ a_{n+1}^2 -a_n^2 = 2+\frac{1}{a_n^2} \le 3 $$ para que sea lo suficientemente grande $n$ . Concluya por inducción que una desigualdad de la forma $a_n^2\le C+3n$ se mantiene.

Answer 3

Puede mostrar el resultado de una manera más directa.

Considerando la ecuación diferencial asociada, se puede ver que : $$f' = 1/f$$ Da la solución $f(x)^2 = 2x$ . Esto le da la siguiente conjetura : $a_n\sim \sqrt{2n} $ lo cual es realmente cierto.

Para demostrarlo, como sugirió Care Bear, considere la secuencia $a_n^2$ (los cuadrados no son exponentes aleatorios debido a la explicación anterior), ya que $a_n$ crece hasta el infinito (ya lo has demostrado), puedes utilizar el lema de Cesaro con $a_n^2$ para demostrar que $a_n^2 \sim 2n$ porque $a_{n+1}-a_n = 2 + 1/a_n^2$ y ya está.