Pruebas de las identidades de las potencias basilares

Question

Todos sabemos que una forma sencilla e intuitiva de mostrar lo que $2^n$ es (para $n$ un número entero) es escribirlo como

$$2^n = \underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{n\ \text{times}}$$

Mi pregunta es: ¿cuál es el método más intuitivo para mostrar el significado de estas dos identidades?

$$2^{-n} = \frac{1}{2^n}$$ $$2^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{2}$$

Answer 1

El punto de partida para justificar (no es realmente una prueba) las dos fórmulas de OP es partir de una buena definición de la potencia entera positiva de un número $a$ . Lo mejor que conozco es un

definición recursiva: $$ a^0=1 \qquad a^n=a \times a^{n-1} \qquad a \in \mathbb{R} \quad n \in \mathbb{N} $$

de esta definición podemos ver fácilmente que esta exponencial tiene la propiedad $$ (1) \qquad \qquad a^{n+m}=a^na^m $$ que implica $$ (2) \qquad \qquad (a^n)^m=a^{n\times m} $$ ahora queremos extender la definición a los exponentes en $\mathbb{Q}$ de tal manera que las propiedades $(1)$ y $(2)$ son siempre verdaderos. Así que tenemos: $$ a^0=a^{n+(-n)}=a^na^{-n}=1 $$ y esto significa que $a^{-n}$ tienen que ser inversos de $a^n$ .

Además, si $t=\dfrac{m}{n} \in \mathbb{Q}$ tenemos:

$$ a^{n \times t}=a^m \iff (a^t)^n=a^m $$ y esto significa, por definición del radical, que $$ a^t=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} $$

Answer 2

Por la primera relación

$$2^{n}=\underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{n\ \text{times}}=\underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{n-1\ \text{times}}\times2=2^{n-1}\times2.$$

Entonces $$2^{n-1}=\frac{2^n}2,\\ 2^{n-2}=\frac{2^n}{2^2},\\ \cdots\\ 2^{n-m}=\frac{2^n}{2^m}.$$

Por la primera relación $$2^{nm} = \underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{nm\ \text{times}}=\underbrace{\underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{n\ \text{times}}\times \underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{n\ \text{times}}\cdots \underbrace{2\times 2\times 2\times \cdots \times 2}_{n\ \text{times}}}_{m\text{ times}}\\ =(2^n)^m$$ y

$$\sqrt[m]{2^{nm}}=2^n=2^{nm/m},$$ o $$\sqrt[m]{2^p}=2^{p/m}.$$