N-ésima derivada de una función: no sé por dónde empezar

Question

Estoy practicando algunos problemas de exámenes anteriores, y este es uno: Encontrar la n-ésima derivada de esta función:
$f(x)=\frac {x} {x^2-1}$.
No tengo idea de cómo empezar a resolver este problema. Es allí cualquier teorema para encontrar la n-ésima derivada?

Answer 1

Tal vez podemos añadir un poco más de ayuda en caso de no tener éxito para encontrar la respuesta a sí mismo todavía. Vamos

$$ \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} $$

ser la división en fracciones parciales. (Soy demasiado perezoso para calcular el coeffitients $A$$B$.) Entonces

$$ \frac{d}{dx} \frac{x}{x^2 - 1} = -\frac{A}{(x-1)^2} - \frac{B}{(x+1)^2} \ . $$

La diferenciación de nuevo,

$$ \frac{d^2}{dx^2}\frac{x}{x^2 - 1} = \frac{2A}{(x-1)^3} + \frac{2B}{(x+1)^3} \ . $$

Una vez más:

$$ \frac{d^3}{dx^3} \frac{x}{x^2 - 1} = - \frac{3\cdot 2}{(x-1)^4} - \frac{3\cdot 2 B}{(x+1)^4} \ . $$

Y seguro que usted puede encontrar el patrón general ahora, ¿no? A continuación, utilice inducción para probar su conjetura.

Answer 2

SUGERENCIA $\;\;\;$ Sobre el empleo de fracciones parciales se reduce a $\;\;\;\rm D^n \:\frac{1}{x+1}. \;\;$ emplean Ahora la serie de Taylor

$$\rm\; f(t+x) = \sum_{k=0}^\infty \;\; D^n \: f(x) \; \frac{t^n}{n!}$$

y tenga en cuenta que para este problema hemos $\rm\; f(t+x) = \frac{1}{t+x+1}$ es una serie geométrica con conocidos los coeficientes.

Tales "generación de la función de" enfoques suelen trabajar sin problemas, incluso en problemas mucho más complicados. De hecho, hay una muy potente Umbral de cálculo que a menudo tiene éxito en el cómputo de tal forma cerrada expresiones, por ejemplo, ver Steven Romano: El Umbral de Cálculo. 1984. Por ejemplo, a continuación es una pequeña muestra de las derivadas de las fórmulas para el incontable número de polinomio secuencias susceptibles de umbral de cálculo de análisis de

$$\begin{array}{|r|l|} \hline \rm Name & \rm Derivative \; formula \\ \hline\hline \rm Laguerre & \rm L_n^k(x) = (D+1)^{n+k}(-x)^n \\ \rm Exponential & \rm\;\; e_n(x) = e^{-x}(xD)^n e^x \\ \rm Abel & \rm A_n^k(x) = x \; e^{-knD} x^{n-1} \\ \rm Hermite & \rm H_n^k(x) = (-1)^n e^{x^2/(2n)} (kD)^n e^{-x^2/(2n)} \\ \rm Bernoulli & \rm B_n^k(x) = \left(\frac{D}{e^D-1}\right)^k x^n \\ \rm Euler & \rm E_n^k(x) = \left(\frac{2}{e^D+1}\right)^k x^n \\ \end{array}$$

Answer 3

Dividido en fracciones parciales, a continuación, se diferencian.

Answer 4

Para agregar a Derek sugerencia: usted tendrá que mostrar la validez de la fórmula

$\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\frac1{x}=\frac{(-1)^k k!}{x^{k+1}}$

Answer 5

De acuerdo con el Teorema del Binomio (o utilizando la fórmula habitual para la suma de una serie geométrica con plazo inicial 1 y la razón común $x^2$),

$f(x)=\frac {x} {x^2-1} = -x \frac {1} {1 - x^2} = -x \left( 1 + x^2 + x^4 + \cdots + x^{2n} + \cdots \right)$

$= -x - x^3 - x^5 - \cdots - x^{2n+1} - \cdots$.

Debido a que el lado derecho converge absolutamente para$|x^2| < 1$, se pueden diferenciar de los de término por término, la introducción de un coeficiente de $(2n+1)(2n) \cdots (2n+1-k+1)$$x^{2n+1-k}$; en otras palabras, el coeficiente de $x^j$$(j+1)(j+2) \cdots (j+k)$. La división de la cosa entera a través de por $k!$ da una serie puede relacionarse fácilmente el binomio de expansión de $( 1 - x^2 ) $ a un negativo de valor integral, dando una solución de forma cerrada.