Demostrando que el conjunto $Z = \{(x,y) : F (x, y) = 0\}$ tiene medida $0$

Question

Pregunta: Demuestre que si $F$ es una función medible en $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$ , tal que para cada $x_{0} \in \mathbb{R}$ , la ecuación $F(x_0, y) = 0$ tiene un número contable de soluciones y, entonces $Z = \{(x,y) : F (x, y) = 0\}$ tiene medida $0$ .

Intento de solución: podemos escribir $Z$ como $\cup_{x \in \mathbb{R}}\{(x,y): F (x, y) = 0\}$ y cada uno de estos subconjuntos es ahora contable por hipótesis. Estoy tratando de escribir esto como la unión contable de conjuntos contables, entonces el resultado sigue ya que podemos limitar la medida con una serie de cero. Pero cómo escribir $Z$ como la unión contable de conjuntos contables? ¿Sugerencias?

Answer 1

$Z$ es medible como $Z=F^{-1}\{0\}$ y $F$ es medible. Esto implica que $\chi_Z$ es medible. Ahora por el Teorema de Fubini-Tonelli podemos escribir: $m(Z)=\int_{\mathbb{R}^2} \chi_Z dm=\int_{\mathbb{R}}(\int_{\mathbb{R}} \chi_{Z'} dy)dx= \int_{\mathbb{R}}m(Z')dx=\int_{\mathbb{R}}0=0$ , donde $Z'$ es $Z$ pero por un fijo $x_0$ .