¿Cuántos grados de libertad tiene una partícula en una caja?

Question

¿Cuántos grados de libertad tiene una partícula en una caja rectangular? Lo que me confunde es que la caja limita el movimiento de la partícula pero a mí me sigue pareciendo que la partícula tiene 3 grados de libertad.

¿Y si la caja es esférica? ¿Y si hay N partículas que no interactúan (por ejemplo, un gas ideal) en cada una de estas formas de caja?

Además, ¿hay alguna diferencia si la partícula es un objeto cuántico como el electrón o un objeto clásico como una canica?

Answer 1

Para una partícula simple en una caja rectangular, habrá tres grados de libertad, uno para cada coordenada. La caja puede imponer restricciones de energía potencial en el problema, pero esto no afecta a los grados de libertad cinéticos de la partícula. Por ejemplo, una partícula en el centro de una caja dura no siente ninguna restricción de la caja.

Lo anterior se aplica también a una caja esférica. Se puede elegir un sistema de coordenadas esférico para trabajar un problema de este tipo, pero esto no afectará a las tres dimensiones libres en las que la partícula puede traducirse.

Para N partículas no interactivas, en una caja de cualquier forma, cada partícula puede considerarse independiente (no interactiva). Es decir, una partícula individual en un sistema de este tipo no siente ninguna entrada de sus vecinos. Las paredes de la caja son, por tanto, el único potencial de confinamiento para cada partícula y, por tanto, podemos contar los grados de libertad de cada partícula como hicimos en el caso N=1.

Si consideramos varios tipos de objetos que se mueven en cajas tridimensionales, seguiremos encontrando que tienen tres grados de libertad de traslación. Sin embargo, pueden existir grados de libertad adicionales si los objetos tienen la capacidad adicional de rotar (por ejemplo, 3 grados de libertad para tres ángulos de Euler rotacionales), o la capacidad de vibrar de ciertas maneras.

Un ejemplo clásico de un objeto más complicado es el de una molécula diatómica (dos partículas puntuales unidas por un potencial similar a un muelle) para la que hay 6 grados de libertad en total: tres grados de libertad de traslación, dos grados de libertad de rotación en torno a los ejes perpendiculares al muelle/vínculo de conexión (la rotación de las partículas puntuales en torno al eje de su enlace no es física) y un grado de libertad de vibración (compresión/expansión) entre las partículas a lo largo del eje del enlace.

Answer 2

Como CountT010 dijo grados de libertad para $N$ las partículas que no interactúan son siempre $2\cdot \text{(dimension)}\cdot N$ . Para el 3d es $6N$ , siempre, ya que cada partícula no se preocupa por las demás (a no ser que pongas alguna restricción, como el gas 2d). El tamaño del contenedor no importa para los grados de libertad, las partículas estarán simplemente rebotando, no les importa.