$e$ tiene una definición de primer orden muy corta. Es la única constante que hace esto cierto: $$\forall x,e^x\ge x+1$$ ¿Qué pasa con $\pi$ ? ¿Cuál es la definición de primer orden más corta que podríamos dar it ?
Estoy incluyendo cosas como suma, resta, multiplicación, división, exponenciación (real), raíces, desigualdades, etc. $\forall$ y $\exists$ variar sobre $\Bbb R$ . Si desea utilizar la diferenciación o los límites, expándalo en su $\epsilon-\delta$ forma.
La mejor definición del tipo que solicitas que se me ocurre es por aproximación factorial de Stirling:
$$\forall n \geq 1, \pi \leq \frac{e^{2n}(n!)^2}{2 n^{2n+1}}$$
No creo que exista una definición que no utilice $e$ sin embargo.
Añadida una ilustración (la convergencia es muy lenta, pero no importa para la pregunta del OP):
Citando al OP: "Estoy incluyendo cosas como suma, resta, multiplicación, división, exponenciación (real), raíces, desigualdades, etc.". $\forall$ y $\exists$ variar sobre $\Bbb R$ ". Su definición utiliza números complejos.
@G. Sassatelli : no, sólo utilizo la suma, la multiplicación de números reales $<$ y $\exists$ como raíz compleja unidad y $|.|^2$ requiere sólo aquellos
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¿cuál es aquí la definición de "primer orden"?
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@ZelosMalum No hablo de platós. Aunque supongo que una definición de segundo orden está bien si es lo suficientemente corta.
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$C/d$ para un círculo :P
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@ZelosMalum Eso es más largo de lo que parece. Tienes que definir un círculo, definir el longitud de una curva todo en una definición de primer orden.
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Tienes que ceñirte a cierto alfabeto. Olvidé mencionarlo.
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Lo sé, estaba bromeando, de ahí que incluyera la ":P".
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@columbus8myhw La exponenciación real tampoco es tan trivial. Su definición implica límites de exponencias racionales, que implican $n$ -...raíces...
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@Crostul Por eso tenía que decir explícitamente que lo permitía.
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Tal vez podría utilizar $\sum n^{-2}=\pi^2/6$ .
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@Lucian Sería algo así como $\forall a\in\mathbb R^{\mathbb N}(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\land a_0=0)\implies \pi=\sup_n\{2^{n+1}\sqrt{2-a_n}\}$ . Técnicamente, tendríamos que ampliar $\sup$ en sus partes Es bastante complicado, y no estoy seguro de que el $\forall a\in\mathbb R^{\mathbb N}$ parte está permitida.
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@Lucian Sólo permití la exponenciación real.
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Si amplía $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ y operaciones reales a otras complejas, puede definir $\pi$ como el menor número real (número complejo sin parte imaginaria) para el que tenemos $\exp(i\pi)+1=0$ . Creo que también es necesario añadir operador de conjugación o de parte real/imaginaria debido a los términos "número real" y "menos" anteriores.
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Este podría estar relacionado.
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Debe evitar los "cosas como" y "etc" en el enunciado del problema. De lo contrario, podemos incluir "cosas como" $f(x)=\pi$ .