Estoy confundido sobre cómo encontrar todos los elementos. Sé cómo encontrar algunos pero no todos, ¿no serían infinitos? Esto me está afectando con las otras preguntas también. Gracias de antemano.
Respuesta
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En lugar de escribir $(a,b)R(c,d)$ escribiremos que $(c,d)$ equivale a $(a,b)$ .
Tenemos $(c,d)$ equivale a $(3,3)$ precisamente si $3-2d=c-6$ . (Sólo estoy leyendo esto de la definición, sustituyendo $a$ por $3$ y $b$ por $3$ .)
Para mayor claridad, reescribe la ecuación $3-2d=c-6$ como $c+2d=9$ . Recordemos que estamos trabajando en $\mathbb{Z}^+$ , que en su curso probablemente significa los enteros positivos.
Así que queremos encontrar todos los pares $(c,d)$ de números enteros positivos tales que $c+2d=9$ . Estos pares ordenados serán la clase de equivalencia completa de $(3,3)$ el conjunto de todos los miembros de $(3,3)$ de la familia.
Las posibilidades son $c=1$ , $d=4$ ; $c=3$ , $d=3$ ; $c=5$ , $d=2$ y $c=7$ , $d=1$ .
Si permitimos $0$ en $\mathbb{Z}^+$ también tenemos $c=9$ , $d=0$ .
En la primera interpretación de $\mathbb{Z}^+$ la clase de equivalencia de $(3,3)$ es el conjunto $$\{ (1,4), (3,3), (5,2), (7,1)\}.$$
Observación: Si la relación se definiera sobre pares ordenados $(x,y)$ donde $x$ y $y$ están en $\mathbb{Z}$ entonces la clase de equivalencia de $(3,3)$ sería infinito. Ya que, por ejemplo, contaría con el par ordenado $(99,-45)$ y muchos otros más.
