¿Interpretación física de las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación de onda en un disco?

Question

Si se considera la ecuación de onda en un disco $D$ entonces, si utilizamos las condiciones de contorno de Dirichlet, significa que la función de onda se fija en $0$ en la frontera del disco, y si consideramos los valores propios del sistema, esto se puede visualizar físicamente como una vibración parche de tambor .

Si utilizamos las condiciones de contorno de Neumann, la derivada normal de la función de onda se fija en $0$ . ¿Cómo podemos visualizar esto físicamente? Los valores propios de las condiciones de contorno de Dirichlet en un disco representan un tambor que vibra. ¿Qué fenómeno físico representan los valores propios de las condiciones de contorno de Neumann en un disco?

Answer 1

La condición de contorno de Neumann rara vez es pertinente en los tambores u otros instrumentos de membrana, ya que implica que la membrana no está firmemente fijada al armazón, lo que hace muy difícil producir un sonido significativo en ese instrumento. El mismo argumento es válido para los instrumentos de cuerda.

Más comúnmente se utiliza para describir los instrumentos de viento, donde significa que el extremo está abierto y que el desplazamiento medio de las partículas de aire en ese extremo durante la producción de tonos está en un máximo local, es decir. $\partial_x \psi(0,t)=\partial_x \psi(L,t)=0$ como se ilustra en la siguiente imagen (tomada de aquí ), que es exactamente la condición de contorno de Neumann, a diferencia de la condición de Dirichlet, que equivale a un extremo de tubo cerrado.

Esto, por supuesto, sólo se ilustra en el caso de una dimensión, pero un razonamiento similar se aplica al caso más general de 3D. Además, una imagen similar es válida para los instrumentos de membrana, pero, como he dicho, están obligados principalmente por la condición de Dirichlet, por lo que mi respuesta se centra en los instrumentos de viento.

Answer 2

La condición de contorno de Neumann implica que ningún momento puede fluir fuera del disco, mientras que las condiciones de contorno de Dirichelet detienen el movimiento en el borde, permitiendo el intercambio de momentos. En un tambor, el momento puede fluir fuera de la piel y la energía vibracional puede ser transportada a las paredes de madera del tambor.

No estoy del todo seguro, pero la superficie de un líquido ideal en un recipiente cilíndrico parece ser un disco que cumple las condiciones de contorno de Neumann.

Answer 3

La condición de contorno de Neumann también es pertinente para las placas rígidas (elásticas) vibrantes (en lugar de las membranas) que están sujetas en el punto central y son libres de vibrar en los bordes. Estos discos o placas vibrantes producen los conocidos patrones de Chladni.

Experimento de patrones de Chladni en YouTube.