Demostrar que $Z_n$ converge en probabilidad a $\frac{1}{\lambda}$ .

Question

Dejemos que $(X_n)_n$ una secuencia de variables aleatorias iid $(\sim \exp(\lambda), \lambda >0)$ y $F$ su función de distribución común. Sea $$M_n = \sup(X_1,\cdots, X_n) \text{ and } Z_n=\frac{M_n}{\ln(n)}$$

1. Demostrar que $F_{Z_n}(x)=(1e^{x \ln(n)})^n \chi_{\mathbb R^+}(x)$

2. Demostrar que $Z_n$ converge en probabilidad a $\frac{1}{\lambda}$

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Para la primera pregunta : \begin {align*} F_{Z_n}(x)&=P(Z_n \leq x) \\ &=P( \sup (X_1, \cdots X_n) \leq x \ln (n)) \\ &=P(X_i \leq x \ln (n) : \forall i=1:n) \\ &= \prod_ {i=1}^n P(X_i \leq x \ln (n)) \\ &= \prod_ {i=1}^n (1-e^{- \lambda x \ln (n)}) \chi_ { \mathbb R^+}(x) \\ &=(1-e^{- \lambda x \ln (x)})^n \chi_ { \mathbb R^+}(x) \end {align*} Para la segunda pregunta, ¡no sé cómo mostrarlo! ¡Cualquier ayuda es apreciada !

Answer 1

Para la convergencia en probabilidad, hay que demostrar que $$ \Pr\left\{|Z_n-\frac{1}{\lambda}|>\epsilon\right\}<\epsilon, $$ entonces, encuentra la probabilidad $\Pr\left\{\frac{1}{\lambda}-\epsilon<Z_n<\frac{1}{\lambda}+\epsilon\right\}$ y proceder.