¿La restricción de la función respeta el espacio tangente de las submúltiplos?

Question

Puede ser una pregunta tonta, pero siento que lo siguiente debería ser cierto pero no puedo justificarlo.

Si $f:M\rightarrow N$ es una función diferenciable entre dos variedades suaves, y existe alguna submúltiple $A$ de $M$ tal que $f(A)=B$ donde $B$ es algún submanifold de $N$ . ¿Es cierto que dado $p\in A$ y el mapa $df_p:T_p M\rightarrow T_{f(p)}N$ tenemos $df_p(T_p A)\subset T_{f(p)}B$ ? Si no es así, ¿hay alguna situación en la que esto se cumpla?

Answer 1

La respuesta es sí. Tome $v \in T_pA$ entonces existe un camino suave $\gamma : (-\varepsilon, \varepsilon) \to A$ con $\gamma(0) = 1$ y $\gamma'(0) = v$ . Ahora, como $\mathrm{d}f(p)\cdot v = \left.\frac{\mathrm{d} f\circ \gamma(t)}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}$ y como $f\circ \gamma : (-\varepsilon,\varepsilon) \to B$ es una trayectoria suave con $f\circ\gamma(0) = f(p)$ y $(f\circ\gamma)'(0) = \mathrm{d}f(p)v$ se deduce que $\mathrm{d}f(p)v \in T_{f(p)}B$ .