Evaluar una suma infinita con el término $x^{\rho^i}$

Question

Al calcular los precios de los activos con la productividad lognormal, me encontré con la siguiente expresión para el precio de los activos: $$ \sum_{i=1}^\infty \beta^i \exp\left(\frac{1}{2}\frac{1-\rho^{2i}}{1-\rho^2}\sigma^2\right) x^{\rho^i}, $$ donde $x$ es el nivel de productividad actual. Esto no parece que pueda resolverse directamente, así que he intentado diferenciar con respecto a $x$ pero los resultados no son muy satisfactorios. Supongo que la dificultad radica en el término que implica $x$ . ¿Podría alguien decirme si esta suma tiene solución explícita? Muchas gracias.

Answer 1

Cuando $\rho > 1$ es un ejemplo de lo que llaman un serie lacunar .

Ni siquiera el caso $\sigma = 0, \beta=1, \rho=2$ tiene una forma cerrada conocida (por Maple): $$ \sum_{i=0}^\infty x^{2^i} $$