Encontrar el límite $L = \lim_ {n\to \infty} \sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\cdots+\sqrt[n]{\frac{1}{n}}}$

Question

Encontrar el siguiente límite:

$$ L = \lim_ {_ {\Large {n\to \infty}}}\:\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[\Large 3] {\frac {1} {3} + \cdots + \sqrt [\Large n] {\frac {1} {n}}} $$

P.S

He intentado encontrar el valor de $\:L$, pero me encontré atrapado en el abismo de la incertidumbre.

Por lo tanto, cualquier ayuda para sacarme esta grieta es más que bienvenida!

Answer 1

Este es un resultado parcial:

La secuencia subyacente es creciente y superior delimitada por $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$. Por lo tanto el límite existe y está a menos de $\phi$.