¿Cómo se multiplican cantidades infinitas?

Question

Por curiosidad estuve viendo este video de njwildberger en youtube: https://www.youtube.com/watch?v=4DNlEq0ZrTo

Donde dice que no se puede definir la asociatividad entre números irracionales porque sólo son una aproximación. Luego dice que cuando se ponen letras en los decimales de pi entonces se puede generar toda la historia de cada partícula del universo, lo cual es ridículo. Entonces, ¿cómo se definen los números reales para que tengan sentido?

Answer 1

Me doy cuenta de que esto es un poco tarde, pero permítanme tratar de proporcionar un poco de contexto:

Los números son, por supuesto, uno de los principales bloques de construcción de las matemáticas, pero durante la historia de las matemáticas no siempre estuvo claro qué son exactamente los "números". Los egipcios, por ejemplo, sabían lo suficiente de matemáticas como para construir las impresionantes pirámides, pero parece que no les importaban mucho las cuestiones filosóficas subyacentes. Para ellos era suficiente que, por ejemplo, "supieran" (en el sentido de: haber visto suficientes pruebas) que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro (que hoy llamamos $\pi$ ) es siempre la misma y que podrían aproximado si es necesario.

Sin embargo, los griegos eran diferentes, porque se preocupaban. Para los pitagóricos, los números tenían incluso un estatus religioso. Sin embargo, para ellos los números eran sólo lo que ahora llamamos los números "naturales" (sin cero) y también se ocupaban de los cocientes (lo que hoy llamaríamos números racionales positivos), pero eso era todo. Les sorprendió mucho darse cuenta de que la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario (nuestro $\sqrt2$ ) no puede expresarse en forma de ratio. (Por supuesto, esto también es cierto para $\pi$ pero no se demostró antes del siglo XVIII).

Esto significaba que el "continuo" (la línea geométrica) era algo bastante misterioso porque había puntos en él que no se podían "alcanzar" con los "números". El resultado fue que distinguieron entre (su concepto de) los números y las "magnitudes", que es algo que podían "medir" (con un compás) en geometría, pero que se negaban a calcular (en el sentido de la aritmética). Y esa es también la razón por la que la geometría siempre tuvo el estatus más alto en su visión de las matemáticas - una visión que dominó las matemáticas durante los siglos siguientes.

Sólo cuando surgió el cálculo en el siglo XVII y revolucionó la mayor parte de las matemáticas (y de la física), se hizo cada vez más evidente que sería mucho más conveniente y coherente que entidades como $\sqrt2$ y $\pi$ fueron tratados como números "normales". Pero resultó que para que esto funcionara de forma aceptable para la mayoría de los matemáticos había que dar un "salto de fe" y empezar a tratar con entidades infinitas:

Una cosa es decir que $\sum_{k=1}^n \frac6{k^2}$ proporciona un algoritmo para aproximado un determinado valor que te interesa y otra cosa es imaginar que esta aproximación alguna vez "terminará" y llamar al "resultado" $\sum_{k=1}^{\color{red}\infty} \frac6{k^2}=\pi^2$ . La buena noticia es que este procedimiento de dar a los irracionales el mismo estatus ontológico que a los números racionales le proporcionará un modelo de trabajo del continuo "sin huecos" (es decir, lo que ahora llamamos " $\mathbb R$ "). La mala noticia es que esto abre toda una nueva lata de gusanos (por ejemplo, que $\mathbb R$ es un conjunto incontablemente infinito ).

De todos modos, algunos matemáticos no están dispuestos a seguir este camino y sólo quieren aceptar en las matemáticas objetos que puedan al menos en principio se puede calcular en un número finito de pasos. (De hecho, aunque se "crea" en $\mathbb R$ se puede demostrar que casi todos -en un sentido preciso- los números reales no son computable .) Wildberger es uno de ellos y creo que este punto de vista es perfectamente válido. Sólo tengo un problema si estos puntos de vista se presentan de una manera que trata de desprestigiar otros puntos de vista como obviamente engañado.

Para profundizar en la evolución de los conceptos de "número" y "continuo", véase Filosofía de las matemáticas por Bedürftig y Murawski. Ver también mi respuesta aquí incluyendo la recomendación del libro.

Answer 2

La pregunta del título es: "¿Cómo se multiplican cantidades infinitas?". La pregunta del cuerpo es: "...¿cómo se definen los números reales [para] que tengan sentido?". Estas dos preguntas parecen estar relacionadas desde el punto de vista de OP, pero no veo la relación, así que ignoraré la del título y hablaré de la del cuerpo.

Hay una forma estándar de definir los reales, y tiene mucho sentido. Asumiré que estás contento con la definición de los racionales para que tengan sentido; entonces los reales se definen como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los racionales. No es difícil extender a los reales, así definidos, las operaciones de adición y multiplicación de los racionales, y demostrar que los reales forman un campo bajo esas operaciones, y luego demostrar las otras propiedades conocidas de los reales. No voy a escribir los detalles, ya que puedes encontrarlos en docenas de libros de texto en tu biblioteca universitaria local. O puedes echar un vistazo a este .

Mi amigo Norman rechazaría esta definición de los reales, pero la mayoría de los matemáticos no tienen ninguna objeción al respecto.