Extensiones de los campos de la clase Hilbert

Question

Dejemos que $K/F$ sea una extensión de Galois de campos numéricos. ¿Es cierto que el campo de clase Hilbert $H_K$ de $K$ es una extensión del campo de la clase Hilbert $H_F$ de $F$ ?

Si el número de clase de $F$ es $h_F > [K:F] h_K$ Entonces encontramos un contraejemplo, pero no sé cómo comprobarlo.

Answer 1

Sí, ya que el compositum $K\cdot H_F$ es una extensión abeliana no ramificada de $K$ y por lo tanto está contenida en $H_K$ .