Demostrar que un conjunto es de Borel

Question

Dejemos que $\mathbb R^\infty$ sea el conjunto de todas las secuencias de números reales con la topología de producto asociada a la distancia $d(x,y)= \sum_{i=1}^\infty 2^{-n} \lvert x_n - y_n \rvert (1+ \lvert x_n -y_n \rvert )^{-1}$ .

Dejemos que $l^2$ sea el espacio de todas las secuencias $\{x_h\}_h $ de números reales tal que $\sum_{h=1}^\infty x_h^2 < \infty $ dotado del producto escalar $(x,y)=\sum_{i=1}^\infty x_i y_i $ con $x,y \in l^2$ .

Tengo que demostrar que $l^2$ es un conjunto de Borel en $\mathbb R^\infty$ . ¿Alguna pista?

Answer 1

Pistas: (1) Para cada $n$ el mapa $s_n:x\mapsto \sum_{h=0}^n x_h^2$ de $\Bbb R^\infty$ a $[0,\infty)$ es continua y, por tanto, medible por Borel; (2) $s(x):=\uparrow\lim_n s_n(x)$ también es Borel, como un mapeo de $\Bbb R^\infty$ en $[0,\infty]$ ; (3) expreso $l^2$ como la imagen inversa de un conjunto de Borel bajo un mapa de Borel.