¿Cómo puedo demostrar que $\frac{1}{\sigma^2}\sum^k_{i=1}n_i[(\bar{Y}_{i.}-\bar{\bar{Y}})-(\theta_i-\bar{\theta)}]^2 \sim \chi^2_{k-1}$ ?

Question

Definir $\bar{\bar{Y}}=\sum n_i \bar{Y}_{i.}/\sum n_i$ y $\bar{\theta}=\sum n_i\theta_i / \sum n_i$ , donde $Y_i \sim N(\theta,\sigma^2)$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\frac{1}{\sigma^2}\sum^k_{i=1}n_i[(\bar{Y}_{i.}-\bar{\bar{Y}})-(\theta_i-\bar{\theta)}]^2 \sim \chi^2_{k-1}$ bajo los supuestos de ANOVA?

mi trabajo:

Dejemos que $\bar{U}_i=\bar{Y}_{i.}-\theta_i$ , para $i=1,...,n$ . Así que, $\bar{U}_i \sim N(0,\frac{\sigma^2}{n_i})$ .

Dejemos que $\bar{\bar{U}}=\bar{\bar{Y}}-\bar{\theta}$ . Así que, $\bar{\bar{U}} \sim N(0,\frac{\sigma^2}{\sum n_i})$ .

La combinación lineal $\bar{U}_i-\bar{\bar{U}} \sim N(0,\sigma^2(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{\sum n_i}))$ .

Por lo tanto, podemos reescribir la expresión original como $\frac{1}{\sigma^2}\sum^k_{i=1}n_i(\bar{U}_{i}-\bar{\bar{U}})^2$ .

Creo que mi trabajo está cerca, pero me he equivocado en alguna parte y necesito ayuda para encontrar mi error. Debido a mi término de varianza de la distribución dada por $\bar{U}_{i}-\bar{\bar{U}}$ la expresión dada no parece seguir una $\chi^2_{k-1}$ distribución. ¿Dónde he metido la pata?

trabajo actualizado:

Tengo eso $\frac{\sum n_i \bar{U}_i^2}{\sigma^2}=\frac{\sum n_i (\bar{U}_i-\bar{\bar{U}})^2}{\sigma^2}+\frac{\sum n_i \bar{\bar{U}}^2}{\sigma^2}$ , donde $\frac{\sum n_i \bar{U}_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_k$ y $\frac{\sum n_i \bar{\bar{U}}^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_1$

Sin embargo, necesito demostrar que los dos términos añadidos en el lado derecho de la desigualdad son independientes. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Supongo que el modelo ANOVA es

$$Y_{ij}=\theta_i+\varepsilon_{ij}\quad,\small\,i=1,2,\ldots,k\,;\,j=1,2,\ldots,n_i$$ donde $\varepsilon_{ij}$ son i.i.d $N(0,\sigma^2)$ para todos $i,j$ . En otras palabras, $Y_{ij}\sim N(\theta_i,\sigma^2)$ independientemente $\forall\, i,j$ .

Media de la $i$ El grupo es $$\overline {Y_{i\cdot}}=\frac1{n_i}\sum\limits_{j=1}^{n_i}Y_{ij}\quad,\, i=1,\ldots,k$$

La media general es entonces $$\overline Y=\frac{\sum_{i=1}^k n_i\overline {Y_{i\cdot}}}{\sum_{i=1}^k n_i}$$

También ha definido $$\overline\theta=\frac{\sum_{i=1}^k n_i \theta_i}{\sum_{i=1}^k n_i}$$

Ahora $\overline {Y_{i\cdot}}\sim N\left(\theta_i,\frac{\sigma^2}{n_i}\right)$ independientemente para cada $i$ para que

$$X_i=\overline {Y_{i\cdot}}-\theta_i\stackrel{\text{ ind.}}\sim N\left(0,\frac{\sigma^2}{n_i}\right)\quad,\,i=1,\ldots,k$$

También tenemos la media ponderada

$$\overline X_w=\overline Y-\overline\theta=\frac{\sum_{i=1}^k n_i(\overline {Y_{i\cdot}}-\theta_i)/\sigma^2}{\sum_{i=1}^k n_i/\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^k w_i X_i}{\sum_{i=1}^k w_i}\,,$$

donde $w_i=\frac{n_i}{\sigma^2}$ son los pesos.

Como has dicho, el problema se reduce a encontrar la distribución de la suma ponderada de los cuadrados

$$S^2=\sum_{i=1}^k \frac{n_i}{\sigma^2}\left\{(\overline {Y_{i\cdot}}-\theta_i)-(\overline Y-\overline\theta)\right\}^2=\sum_{i=1}^k w_i(X_i-\overline X_w)^2$$

Utilizando hechos generales sobre distribuciones de formas cuadráticas (como alguna forma del teorema de Cochran) se puede demostrar que $S^2\sim \chi^2_{k-1}$ pero para una derivación más instructiva utilizando transformaciones ortogonales puede consultar este en Math.SE. La independencia de $\overline X_w$ y $S^2$ también se puede mostrar de esta manera.