Pruébalo: Si $A \subset B$ entonces $P(A) \le P(B)$ y $P(B-A) = P(B)-P(A)$

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema utilizando los axiomas citados a continuación.

Teorema: Si $A \subset B$ entonces $P(A) \le P(B)$ y $P(B-A) = P(B)-P(A)$

---

Axioma 1: Para cada evento $A$ en la clase $C$ ,

$$P(A) \ge 0$$

Axioma 2: Para el evento seguro o certero $S$ en la clase $C$ ,

$$P(S) = 1$$

Axioma 3: Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes $A_1, A_2,\cdots$ en la clase C,

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = P(A_1)+P(A_2) +\cdots $$

Para la primera parte, porque $B = (B\setminus A) \cup (B \cap A)$ tenemos $P(B) = P((B\setminus A) \cup (B \cap A))$ $= P(B\setminus A)+P(B \cap A) \ge 0+P(B \cap A) \ge P(A) $ por lo tanto $P(B) - P(A) \ge 0$ . Por lo tanto, $P(B) \ge P(A)$ .

Sin embargo, no puedo llegar a ninguna parte para la segunda parte. Sé que $P(B-A) = P(B \cap A')$ pero no sé cómo convertir la intersección en unión para poder utilizar el axioma 3. ¿Cómo lo demuestro?

Answer 1

Observe que $B-A$ y $A\cap B=A$ son mutuamente excluyentes y su unión es $B$ . Uno de sus axiomas se encarga de eso.

Answer 2

Sugerencia : Desde $A\subseteq B,$ entonces $A\cap B=A.$