Resolución de inecuaciones con valores absolutos

Question

Esta es la cuestión:

$$ \left| \frac{x+2}{3(x-1)} \right| \leq \frac{2}{3} $$

Y este es mi trabajo, primero elevé al cuadrado tanto el numerador como el denominador, y luego lo resolví como si fuera una desigualdad normal.

$$ \frac{(x+2)^2}{(3x-3)^2} \leq \frac{2}{3} $$

$$ 3(x+2)^2 \leq 2(3x-3)^2 $$

$$ 9x^2 +36x+36 \leq 36x^2 -72x+36 $$

Saqué un factor común de 9

$$ x^2 +5x+4 \leq 4x^2-8x+4 $$

$$ 3x^2 -12x \geq \\ x(3x-4) \geq 0 \\ x \geq 0 \text{ and } x \geq \frac{4}{3} $$

Normalmente, cuando se trata de inecuaciones como ésta, termino con una ecuación cuadrática, que luego puedo factorizar y resolver correctamente, pero no estoy seguro de qué ha fallado en ésta. La respuesta correcta es

$$ x \leq 0 \\ x \geq 4 $$

Qué he hecho mal, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Respuesta:

La desigualdad se reduce a dos desigualdades distintas:

Son $$ \frac{x+2}{3(x-1)} \leq \frac{2}{3} $$

y

$$ -\frac{x+2}{3(x-1)} \leq \frac{2}{3} $$

Resolver la primera $$(x+2) \leq 2(x-1)$$ $$x\geq 4$$

Resolver el segundo $$x+2\geq 2-2x$$

$$3x\leq 0$$

$$x \leq 0$$

Answer 2

El procedimiento es correcto. Primero un comentario preliminar. El lado izquierdo no está definido en $x=1$ Así que cualquier respuesta que obtengamos debe excluir $1$ .

Tenemos $$\left|\frac{x+2}{3(x-1)}\right|\le \frac{2}{3}\quad\text{if and only if}\quad \left(\frac{x+2}{3(x-1)}\right)^2\le \frac{4}{9}.$$ Si $x\ne 1$ entonces la igualdad de la derecha se cumple si y sólo si $$9(x+2)^2 \le (4)(9)(x-1)^2.$$ La desigualdad anterior se reduce rápidamente a $(9)(3)(x)(x-4)\ge 0$ que se cumple precisamente si $x\le 0$ o $x\ge 4$ .

El punto $x=1$ no se encuentra en la región recién obtenida, por lo que no debemos preocuparnos.

Observación: El procedimiento utilizado en el puesto era sólido. Se presentó como una manipulación. La lógica debería haber sido más clara (como en el "si y sólo si" de la respuesta anterior).

Hubo un pequeño desliz aritmético. No es cierto que $3x^2-12x=x(3x-4)$ .