Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias tales que, para algún conjunto $B$ de medida de Lebesgue cero, $P\big(\left(X, Y\right)\in B\big) \ne 0$ . Cualquier restricción sobre $X$ y $Y$ que implica tal condición también implica que $(X,Y)$ no puede ser un vector aleatorio continuo: la prueba utiliza una observación esencial en el responder a su referencia . Contradicción asumiendo la densidad conjunta $f_{XY}$ existe, $$ 0\ne P\big((X,Y)\in B\big) = \int\limits_{B}f_{XY}\ \mathrm dA = 0. $$
En particular, si $Y$ es $\sigma(X)$ -medible, pues, por el Lema de Doob-Dynkin , $Y = g(X)$ para alguna función medible por Borel $g$ . Por lo tanto, $(X,Y)$ no es un vector aleatorio continuo.
Por otro lado, si la medida de probabilidad de empuje definida por $(X,Y)$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, entonces existe la densidad conjunta y $(X,Y)$ sigue una distribución continua, por definición.
Cuando se define un modelo/experimento probabilístico, se define por un espacio de probabilidad , $(\Omega, \Sigma, P)$ . Intuitivamente, $\Omega$ es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento, $\Sigma$ es el conjunto de todos los posibles sucesos que se pueden observar en el experimento (un suceso es una colección de resultados) y $P:\Sigma\to[0,1]$ es una función que asigna valores de probabilidad a los eventos.
Si, además, un vector aleatorio $X:\Omega\to\mathbb{R}^2$ está definido (es decir, para cualquier conjunto de Borel $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ , $X^{-1}(B)\in\Sigma$ ), entonces podemos definir el empujar hacia adelante medir $P_{X}: \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\to[0,1]$ por $$ P_{X}(B):=P\big(X^{-1}(B)\big),\ \forall\ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) $$ Es decir, a partir del mencionado espacio de probabilidad (posiblemente abstracto), el vector aleatorio ha inducido un nuevo espacio de probabilidad $(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2), P_{X})$ . Y, como la medida de Lebesgue, $P_{X}$ asigna números reales a conjuntos de Borel.
$P_{X}$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si, siempre que $B$ es un conjunto de Borel de medida de Lebesgue cero, esto implica $P_{X}(B)=0$ . Esta es la observación clave para saber cuándo un vector aleatorio es continuo o no: si esta propiedad de continuidad absoluta no se satisface, entonces la existencia de una densidad (que se requiere, por la definición de un vector aleatorio continuo) conduce a una contradicción, como se muestra arriba. Alternativamente, si la propiedad se satisface, entonces se garantiza la existencia de la densidad conjunta, como se ha referido anteriormente, por la Teorema de Radon-Nikodym .
En cuanto a las referencias, cualquier buen libro que presente un enfoque de la teoría de la medida a la teoría de la probabilidad debería tener estos detalles. Por ejemplo, Rosenthal o Fresno .
