¿Cuál es el mínimo $k$ tal que $A^k \equiv I$ mod p para matrices invertibles?

Question

Dejemos que $F$ sea un campo finito de orden $p$ , donde $p$ es primo. Para cualquier $n\times n$ matriz $A$ que es invertible sobre $F$ entonces parece que existen enteros $k$ tal que $A^{k} = I$ . Mi pregunta es simplemente cuál es el valor mínimo de $k$ (en función de $n$ y $p$ ), que llamaré $k_{n,p}$ de tal manera que esta relación se mantiene para todas las opciones de $A$ .

Demostrar que ese número entero existe es relativamente sencillo. Por supuesto, existe un $B$ tal que $AB = I$ . Además, hay precisamente $\gamma_{n}(p) = (p^n - 1)(p^n-p) \ldots (p^n - p^{n-1})$ matrices que satisfacen los requisitos de $A$ . Como las matrices invertibles forman un grupo, esto implica que existen enteros distintos $a$ y $b$ entre $1$ y $\gamma_{n}(p)+1$ tal que $A^a = A^b$ y por lo tanto $B = A^{a-b-1} = A^{k-1}$ . Esto implica que $k_{n,p} \leq \gamma_n(p)$ . Además, como el orden del grupo de matrices invertibles sobre $F$ es $\gamma_n(p)$ y los poderes de $A$ forman un subgrupo de este grupo, el teorema de Lagrange implica que $k_{n,p}$ debe dividir $\gamma_n(p)$ . Así que mi pregunta es si $k_{n,p} = \gamma_n(p)$ o si puedes hacerlo mejor.

Esto sería esencialmente un equivalente al pequeño teorema de Fermat para las matrices, pero al buscar en dicha literatura sólo he podido encontrar relaciones de trazado, por lo que si esto es bien conocido, o si mi razonamiento es erróneo, agradecería que me indicaran la literatura pertinente (o mi error).

Answer 1

Las situaciones de subtensión pueden ser malas para los microcontroladores y las memorias. Muchos microcontroladores tienen un sistema básico de protección contra la subtensión incorporado por esta razón. El modo de fallo más común es la corrupción de la memoria flash, debido a que la baja tensión hace que el controlador de escritura de la memoria flash funcione mal.

Otro uso habitual de los sensores de subtensión es la protección de las baterías. A muchos tipos de baterías no les gusta que se descarguen a voltajes muy bajos, ya sea porque tienen fugas o porque no pueden recargarse completamente después. Las celdas LiPo y NiMH se dañan con la sobredescarga, por ejemplo. Puede ser difícil conseguir que un circuito complejo pase a un estado de baja corriente cuando la tensión baja, pero un sensor de subtensión conectado a un FET entre el circuito y la batería es bastante eficaz y barato.