Espacios completamente regulares

Question

Necesito ayuda con la siguiente pregunta:

Si $\mathbb X$ es un espacio completamente regulado y $\mathcal B$ es una base para la topología de $\mathbb X$ entonces existe una familia $\mathcal A$ de funciones continuas que van desde $\mathbb X$ a [0,1] tal que $\mathcal A$ separa puntos de conjuntos cerrados en $\mathbb X$ y $|\mathcal A|\leq |\mathcal B|$ .

$\mathcal A$ separa puntos de conjuntos cerrados en $\mathbb X$ si para cada punto $x \in \mathbb X$ y todo conjunto cerrado $C\subseteq \mathbb X$ $\exists f \in \mathcal A$ tal que $f(C)=0$ y $f(x)=1$ .

He utilizado una idea similar a la de la demostración del Teorema de la Metrización de Urysohn en Munkres, pero tengo problemas para definir la inyección entre $\mathcal A$ y $\mathcal B$ .

Answer 1

Bueno, ser completamente regular significa que puedes separar los puntos de los conjuntos cerrados para cualquier conjunto cerrado fijo y cualquier punto, ¿verdad? Así que puedes tomar una colección de conjuntos cerrados y puntos "bonitos" y hacer que funcione. Por ejemplo, puedes tomar la colección de funciones que separan complementos de elementos base de puntos elegidos tomando un punto en cada elemento base. Esto da una inyección en el propio conjunto cruzado, que (para conjuntos infinitos) tiene la misma cardinalidad que el conjunto original, finte los espacios regulares son discretos.

Answer 2

SUGERENCIA: Deja que $\mathscr{F}=\{\Bbb X\setminus B:B\in\mathscr{B}\}$ . Demuestre que para cada $x\in X$ y cada conjunto cerrado $C$ tal que $x\notin C$ hay un $F\in\mathscr{F}$ tal que $C\subseteq F$ y $x\notin F$ .