¿Qué significa que una variable sea función de otra?

Question

Cuando escucho a alguien decir " $y$ es una función de $x$ Pienso en la notación $y(x) = 2x + 4$ . Pero he visto que algunas personas también dicen que $y = 2x + 4$ es una función $y$ de $x$ . Eso me confunde porque seguramente es una ecuación y no una función. Puedes cambiarla para que sea $x = \frac{1}{2}y - 2$ , ¿se puede llamar ahora $x$ siendo una función de $y$ aunque no haya cambiado nada, excepto el lugar donde están las variables, o es simplemente incorrecto y una ecuación no puede ser considerada como una función de otra variable? He visto que estos dos se utilizan indistintamente más a menudo cuando se trazan gráficos de polinomios, a veces el $y$ -El eje está incluso etiquetado $y(x)$ aunque no sabía que se podía tener una función como eje.

En términos más generales, ¿cómo puedo saber cuándo algo es una función y cuándo es una ecuación, y existen diferencias notables o problemas cuando se utilizan de forma incorrecta (por ejemplo, cuando se ha utilizado una función cuando se debería haber utilizado una ecuación)?

Answer 1

La confusión surge porque hay dos usos inconsistentes, aunque relacionados, de la palabra función . El uso más antiguo es el que puede llamarse variable dependiente en (por ejemplo) la frase " $y$ es una función de $x$ " o, más concretamente, "la función $y=2x+4$ ". Este uso sigue siendo común entre los no matemáticos que emplean las matemáticas. Este lenguaje tiende a ser evitado por los matemáticos actuales, porque implica, en este caso por ejemplo, que una función es un tipo de número real (que depende de otro número real libremente especificable). En este caso, la función no es $y$ sino (en términos simples) la regla que especifica cómo $y$ se obtiene de $x$ . En el sentido moderno, un función puede definirse con precisión como un tipo de objeto matemático, que es muy distinto de los valores (por ejemplo $y$ ) asociado a la función.

Answer 2

En última instancia, creo que tiene razón al escribir $y = f(x)$ cuando se le da la información " $y$ es una función de $x.$ "

Como usted menciona, la ecuación $y(x) = 2x + 4$ da implícitamente la información de que la salida $y$ depende de la entrada $x,$ es decir, $y$ es la variable dependiente, y $x$ es la variable independiente; sin embargo, es un abuso común de la notación escribir $y = 2x + 4$ en lugar de la función $y(x) = 2x + 4.$ Lamentablemente, en este caso, la notación es ambigua porque, como has señalado, también podríamos escribir $x = \frac 1 2 y - 2,$ y esto describe $x$ como una función $x(y) = \frac 1 2 y - 2$ de $y.$ Lo que se observa en este ejemplo es que la función $f(x) = 2x + 4$ tiene una inversa, es decir, existe una función $g(x)$ tal que $f \circ g(x) = x$ y $g \circ f(x) = x.$ Explícitamente, la función inversa es $g(x) = \frac 1 2 x - 2.$ Se puede comprobar que $f \circ g(x) = 2g(x) + 4 = x$ y $g \circ f(x) = \frac 1 2 f(x) - 2 = x.$

Como menciona Maryam más arriba, la clara distinción entre una función $f(x)$ y una ecuación es que una función viene con un dominio (es decir, un conjunto de $x$ -valores que son entradas válidas para $f(x)$ ) y un codominio (es decir, un conjunto de $y$ -valores que son salidas válidas para $f(x)$ ). Por desgracia, en el caso de $f(x) = 2x + 4,$ todo $x$ -son entradas válidas, y todos los $y$ -son salidas válidas, por lo que el dominio y el codominio suelen suprimirse; sin embargo, para la función $g(x) = \sqrt x,$ el dominio y el codominio son bastante importantes porque la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, de ahí que la ecuación $y = \sqrt x$ no tiene sentido.

Answer 3

Una función es la suma de tres informaciones: el dominio, el codominio y una regla. Se dice que una función $f:A\to B$ se define por $y=f(x)$ para especificar que el dominio es $A$ el codominio es $B$ y la regla se expresa mediante la ecuación $y=f(x)$ . Equivalentemente, se puede ver una función de un dominio $A$ a un codominio $B$ y definido por una ecuación $y=f(x)$ como una relación de $A$ a $B$ es decir, como un subconjunto del producto cartesiano $A\times B$ , tal que el par ordenado $(x,f(x))$ es un elemento de esa relación para todo $x$ en el dominio $A$ de $f$ . Si, como en su ejemplo, la relación es invertible, entonces para todo $x\in A$ y todos $(x,y)\in f$ , se tiene que el par simétrico $(y, x)$ está en la relación inversa $f^{-1}$ que es una función del dominio $B$ al codominio $A$ definido por la ecuación $x=f^{-1}(y)$ para todos $y\in B$ .