Representaciones de permutación de elementos y longitud de ciclo de los conjugados

Question

Buenos días. Estoy viendo las representaciones de permutación de la acción del grupo por conjugación: Sea $g,a\in G$ . Defina una acción de la izquierda sobre G por

$$g\cdot a=gag^{-1}$$

Estoy buscando específicamente $D_8$ . Sé que la representación de permutación de los elementos de $D_8$ son

$$\sigma_e=(1), \sigma_r=(1234), \sigma_{r^2}=(13)(24), \sigma_{r^3}=(1432) $$ $$\sigma_s=(24),\sigma_{sr}=(14)(23),\sigma_{sr^2}=(13),\sigma_{sr^3}=(12)(34)$$

Ambos $e_{D_8}, r^2\in Z(D_8)$ . Como se propone en Dummit y Foote,

Dos elementos de $S_n$ son conjugados en $S_n$ si tienen el mismo tipo de ciclo. El número de clases de conjugación de $S_n$ es igual al número de particiones de $n$

Pero $r^2$ tiene el mismo tipo de ciclo que $sr$ y $sr^3$ . ¿Por qué no se conjugan? ¿Es simplemente porque $r^2\in Z(D_8)$ ? ¿La segunda parte de la proposición lo verifica? Las particiones de $4$ son

$$1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 4, 2+2$$

Answer 1

Si dos elementos de un subgrupo son conjugados entre sí en el grupo mayor, esto no implica nada sobre la conjugación en el subgrupo.

Por ejemplo, podría representar el Klein $4$ -grupo como $$\{(1),(12),(34),(12)(34)\}$$ Ser del mismo tipo de ciclo, $(12)$ y $(34)$ son conjugados en el grupo simétrico. Sin embargo este subgrupo es abeliano por lo que obviamente no son conjugados en el subgrupo.

Answer 2

Como señala @EuYu, el Teorema se aplica en $S_4$ no $D_8$ .

$r^2$ , $sr$ y $sr^3$ son conjugados en $S_4$ pero no en $D_8$ . Sin embargo, se puede utilizar el Teorema para descartar las conjugaciones - si $x$ y $y$ son conjugados en $G\le S_n$ entonces se conjugan en $S_n$ por lo que tienen el mismo tipo de ciclo. En este ejemplo, $r$ y $sr^2$ por ejemplo, no puede ser conjugado.

Además, como usted señala, $r^2\in Z(D_8)$ para saber que es el único elemento de su clase de conjugación. Esto significa que para calcular todas las clases de conjugación sólo hay que comprobar si los siguientes pares son conjugados:

$(r,r^3),(s,sr^3),(sr,sr^3)$