"Una categoría $\mathfrak{C}$ son los datos del colección $\textrm{Obj}(\mathfrak{C})$ de objetos de $\mathfrak{C}$ y para cada objeto $X,Y$ de un set de morfismos $\textrm{Hom}_{\mathfrak{C}} (X,Y)$ ...tal que..." Un clásico perfecto en el que se habla informalmente de colecciones de objetos.
Primer ejemplo, la categoría $S$ de conjuntos. Entonces, cualquier tipo de "construcción" $\textrm{Obj}(S)$ puede ser, es seguro que no es un conjunto, ya que "el conjunto de todos los conjuntos no existe". Otro clásico (de Russell) de la teoría ingenua de conjuntos, "resuelto" en ZFC.
Nunca pensé en qué teoría de conjuntos me encontraba cuando consideraba la teoría de las catástrofes o hacía geometría algebraica (aunque el apéndice de Bourbaki en SGA IV 1 y algunas cuestiones de "no limitación" en torno a las topologías planas me desconcertaron), pero aparentemente estaba en ZFC. Pero en ZFC no sé lo que es una "colección".
¿Cuáles son las reacciones (comunes o no) a este "asunto"?
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Puede ser útil leer la parte de la introducción de los fundamentos de Categorías abstractas y concretas a partir de la página 13.
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En ZFC, una "colección" es una clase: es.wikipedia.org/wiki/Clase_(set_theory)
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Tal vez encuentres math.stackexchange.com/questions/1164627/ interesante.
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Y quizás math.stackexchange.com/questions/432172/
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@QiaochuYuan Pensé que una clase era algo informal en ZFC.
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@drhab Sin embargo, no veo una definición adecuada de una clase allí.
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No me extrañaría que en realidad las clases no estén definidas sino que sean primitivas. No se puede evitar que algunos conceptos matemáticos no estén definidos. Esto porque la relación de "estar definido" en las matemáticas es una relación fundamentada .
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¿La única diferencia formal (dejo de lado la intuición sobre el tamaño, etc.) entre los conjuntos y las clases es el hecho de que, aunque ambos están definidos por una fórmula, los primeros están parametrizados por un conjunto mientras que los segundos tienen una parametrización "libre"? ¿O no hay una manera formal de definir una clase y distinguirla de un conjunto, lo que significa que las clases sólo pueden definirse en el metalenguaje de la teoría de conjuntos?
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Es decir, no me importaría definir la teoría de clases (aunque no la de alg number :)) y luego poder afirmar formalmente, dentro de la teoría, qué es un conjunto y por qué una clase no es un conjunto, de forma que la traza de la teoría de clases sobre los conjuntos sea ZFC (o cualquier otra cosa). No sé si lo que digo tiene sentido.
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Observación : escribí que todas las clases están definidas por una fórmula porque no veo cómo las "clases abstractas", incluso en la teoría de categorías, podrían ser útiles. (Aunque con la geometría algebraica a la vista).