Determinar si $(ne^{-(x-n)^2})_{n\in\mathbf{N}}$ es convergente puntualmente.

Question

Determine si la siguiente secuencia funcional es convergente puntualmente. En caso de convergencia, dar la función límite y demostrar que la convergencia es uniforme o que no es uniforme, según el caso.

$$(ne^{-(x-n)^2})_{n\in\mathbb{N}}$$

Solución actual:

Dejemos que $x\in\mathbb{R}$ .

La definición de estados puntuales convergentes $\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)$ .

Como $n\to\infty$ , $e^{-(x-n)^2}\to0$

por lo que la función $f_n(x)\to0$ cuando $n\to\infty$

Así, $f_n(x)$ converge puntualmente a la función cero en $\mathbb{R}$ .

¿No está seguro de cómo mostrar si la convergencia es uniforme o no?

Answer 1

Usted escribió $f_n(x) = e^{-(x-n)^2}$ pero creo que querías decir $f_n(x) = \frac{n}{e^{(x-n)^2}}$ y como has dicho converge puntualmente a $0$ . Pero si dejamos que $x = n$ tenemos $f_n(x) = n$ que no converge. Así que no converge uniformemente.

Answer 2

Dejemos que $\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=f(x).$

$M_n: = \sup_{x \in D} |f_n(x) -f(x)|.$

Entonces $f_n \rightarrow f$ uniformemente en $D$ $\iff$

$M_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ . (Capítulo 7 de Rudin).

Para este problema:

$M_n = \sup_{x \in \mathbb{R}}|ne^{-(x-n)^2}| = n.$ (¿Por qué?)