El cuadrado de área mínima con tres vértices en una parábola

Question

Me fue dada esta pregunta por un amigo y después de trabajar incansablemente en la que no he llegado a algo sustancial. Estaba esperando que alguien en la comunidad que podrían ofrecer un puntero o, posiblemente, una solución. La persona que me dio la pregunta dice que él tiene la respuesta, pero yo soy más curiosos sobre el trabajo.

Aquí está la pregunta:

Tres puntos de $(B, C, D)$ mentira en la parábola $y = x^2$, y en un cuarto de punto $A$ se coloca de tal manera que $ABCD$ forma cuadrada. Encontrar la mínima área de $ABCD$.

Hasta ahora mi trabajo ha implicado una colección de distancia/punto medio de la fórmula y ni siquiera he llegado al punto en que se diferencian para minimizar el área.

Alguna sugerencia será bienvenida.

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Al parecer, la respuesta correcta es $\sqrt{2}$ unidades al cuadrado.

Answer 1

Vamos a un vértice ser $(x,x^2)$, el lado de longitud $s$ y el lado orientación $\theta$.

Otros dos vértices están en las coordenadas $(x+s\cos\theta,x^2+s\sin\theta)$$(x+s\sin\theta,x^2-s\cos\theta)$. Vamos a expresar que pertenecen a la parábola:

$$(x+s\cos\theta)^2=x^2+s\sin\theta\implies2xs\cos\theta+s^2\cos^2\theta=\sin\theta,\\ (x+s\sin\theta)^2=x^2-s\cos\theta\implies2xs\sin\theta+s^2\sin^2\theta=-s\cos\theta.$$

La eliminación de $x$, nos encontramos con $$s=\frac1{\cos\theta\sin\theta\,(\cos\theta-\sin\theta)}.$$

El área se minimiza cuando el denominador es maximizada, es decir,$\theta=\dfrac{3\pi}4$,$s^2=\color{green}2$.

Answer 2

2 unidades cuadradas. B,C,D son (-1,1) (0,0) y (1,1) por lo que Una es (0,2)

Esta es la manera de producir el ángulo correcto para dos lados congruentes.

Yo no resolver matemáticamente, con cualquiera de las ecuaciones. Me imaginé a un cuadrado, digamos, 2 unidades 2 unidades, y se deslizó hacia abajo el lado de la parábola hasta la esquina opuesta se cumplen.

Luego vino el visual reducir. De cualquier menor de 2x2, el tercer vértice no toque nunca la parábola, independientemente de donde se deslice. Tenga en cuenta que el OP pidió un puntero o una solución. Me dio tanto, incluso a pesar de los rigurosos pasos son sin falta.

Answer 3

JoeTaxpayer está muerto con la visual, y yo no soy la publicación de un "duplicado" de la solución, tanto como el respeto a la petición de una manera más rigurosa de tratamiento de Joe visual.

Ya sabes que ABCD tenga forma cuadrada, usted sabe que el BCD segmento debe ser un ángulo recto (por la virtud de ser la mitad de un cuadrado). Usted puede falda de cálculo y la geometría de fórmulas mediante básicos de álgebra lineal para usar la $y = x^2$ función que encuentra las soluciones de los 'extremos' de B y D, cuyo producto escalar es cero (ya que son necesariamente ortogonales). Los extremos de B $(-x,y)$, a pesar de que sabemos que $y = x^2$ nos dice que los extremos se $(-x,x^2)$. El mismo proceso aplicado a D nos dice que el extremo serán algunas de las $(x, x^2)$, ya que debe estar en la misma vertical que el punto sobre la parábola para tener la misma longitud.

Debe quedar claro que desde $y \geq 0$ que C debe recaer en $(0,0)$ (esto debe ser 'visualmente' inmediata así como cualquier otro 'ancla' punto en $y$ sería un número positivo, cuya ortogonal segmentos sería de diferentes longitudes de si sus extremos se encuentran también en la función de $y = x^2$). Ahora, desde (0,0) es el punto de partida de su plaza, y queremos que el producto escalar de estos dos vectores a ser $0$, podemos calcular el producto escalar de estos dos vectores en $\mathbb{R}^2$: $-x \cdot x + x^2 \cdot x^2$, es decir,$-x^2 + x^4 = 0 \implies x^2 = x^4$, que sólo tiene soluciones para $x = -1, 0, 1$ que podemos conectarlo a nuestro ecuaciones para B, C, y D para obtener $(-1, 1), (0, 0)$ $(1,1)$ respectivamente. Esto le da los tres puntos de la 'plaza' formado a lo largo de las líneas de la parábola, y las fuerzas de su elección de A. Pero desde ya se puede calcular el área de un cuadrado con dos de sus lados, es decir, BC y CD, sólo necesitas saber la longitud de segmento de línea entre el$(0,0)$$(-1,1),(1,1)$. Esto es $\sqrt{2}$. Plaza de esto para obtener el área de ABCD y se obtiene la respuesta deseada: 2.

Answer 4

No hay ningún cuadrado con lados paralelos a los ejes de tener tres vértices en la parábola $\gamma: \>y=x^2$. Por lo tanto, tenemos más bajo vértice $C:=(u,u^2)$. Hay un lado de la pendiente $m>0$ emanan de $C$ a la derecha, y de este lado se cruza con $\gamma$ $$D=\bigl((m-u),(m-u)^2\bigr)\ .$$ La sustitución de $m$ $-{1\over m}$ aquí produce $B=\bigl(\bigl(-{1\over m}-u\bigr), \bigl({1\over m}+u\bigr)^2\bigr)$. Ahora consideraremos $m$ como variable principal. Desde que desee $B$ a la izquierda y $D$ a la derecha de $C$ $u$ es entonces restringido a $$-{1\over 2m}<u<{m\over2}\ .\tag{1}$$ Uno calcula $$|CD|^2=(1+m^2)(m-2u)^2,\qquad |BC|^2={1+m^2\over m^4}(1+2m u)^2\ .$$ La condición de $|BC|^2=|CD|^2=:s^2$ a continuación, lleva a $$(-1 + m^3 - 2 m u - 2 m^2 u) (1 + m^3 + 2 m u - 2 m^2 u)=0$$ con las soluciones $$u_1={m^3-1\over2m(m+1)},\qquad u_2={m^3+1\over 2m(m-1)}\ .$$ Podemos suponer que la $m\geq1$, es decir, que la plaza está inclinada hacia la izquierda. A continuación, sólo $u_1$ satisface $(1)$. Esto lleva a $$s^2={(m^2+1)^3\over m^2(m+1)^2}=2+{(m-1)^2(1+2m+4m^2+2m^3+m^4)\over m^2(m+1)^2}\ ,$$ que es más pequeño, es decir,$=2$, cuando se $m=1$. Esto dará como resultado en $C=(0,0)$$A=(0,2)$.

Answer 5

Vamos $x_3 , x_2 , x_1$ - $x$ coordenadas de los puntos de la plaza y la $x_2$ entre $x_1$$x_3$. A continuación, los lados de la plaza se: $$Y = (x_1 + x_2)X - x_1x_2$$ $$Y=(x_2+x_3)X - x_2x_3$$

Perpendicularidad significa: $$(x_1+x_2)(x_2+x_3) = -1$$

La solución para $x_2$ le da: $$x_2 = -\frac{x_1+x_3}{2} \pm \frac{\sqrt{d^2-4}}{2}$$ Donde $d = x_1-x_3$ . Concluye que la $d$ no puede ser menor de 2. Zona de la plaza de $S$ puede ser expresado en $x_1$ $x_3$ : $$2S = (x_1-x_3)^2+(x_1^2-x_3^2)^2=d^2+d^2(x_3+x_1)^2$$ Keeping $d$ at minimum = 2 $S$ is minimal only if $x_1 = -x_3$ Que corresponde a cuadrado con la diagonal principal paralelo a los ejes.

Este concluye que el área mínima = 2.