Para una secuencia infinita de funciones $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ cada función es una composición de un cierto conjunto finito de funciones $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ .

Question

Dada una secuencia infinita de funciones $\{g_1, g_2, \ldots, g_n, \ldots\}$ donde $ g_n : \Bbb R \to \Bbb R$ demostrar que hay un conjunto finito de funciones $ \{ f_1, f_2, \ldots, f_M \} $ de manera que cualquier $ g_n $ puede representarse como una composición de $ f_m $ 's.

Sinceramente, no sé ni siquiera cómo enfocar esto. La intuición es que si la secuencia infinita de funciones no se define usando un conjunto finito de funciones y composición entonces la definición de la secuencia sería infinita en sí misma, pero no sé cómo formalizarlo.

Answer 1

Fijar una biyección $\varphi:\mathbb{R}\to [0,1)$ y definir $\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por

$$ \psi(x) = \begin{cases} g_n(\varphi^{-1}(x-n)), & \text{if $ x \in [n, n+1) $ for some $ n \in \mathbb {N}_1 $}; \\ 0, &\text{otherwise}; \end{cases} $$

donde $\mathbb{N}_1 = \{1,2,3,\dots\}$ . Por último, establece $ f(x) = x+1 $ . Entonces

$$ g_n = \psi \circ f^{\circ n} \circ \varphi $$

para cualquier $n \in \mathbb{N}_1$ .