$X\in \mathfrak{g}$ significa que el flujo conmuta con la traducción a la izquierda

Question

Supongamos que $X\in \mathfrak{g}$ es un campo vectorial invariante a la izquierda en un grupo de Lie G. En este artículo menciona que

El hecho de que nuestros campos vectoriales satisfagan $L^*_gX = X$ implica que el flujo conmuta con la traslación a la izquierda: $\Phi_t\circ L_g = L_g \circ \Phi_t$ .

Para mí tiene sentido intuitivo que esto sea así, pero no consigo formularlo. Dejemos que $h\in G$ , entonces queremos mostrar $\Phi_X^t(L_g(h)) = g\cdot \Phi^t_X(h)$ . Tenemos $X_{h} = X_{L_{g^{-1}}(gh)}= L_{g^{-1}}^*(X_{gh})$ pero ahora me estoy perdiendo de nuevo...

Answer 1

$\newcommand{\dt}{\frac{d}{dt}}$ La estrategia aquí es mostrar que $L_g \Phi_t L_g^{-1} = \Phi_t$ utilizando la unicidad del flujo. Así, diferenciamos el LHS en un punto $p$ y el tiempo $t$ y sustituir el $\Phi_t$ con el flujo de $L_g^* X$ (ya que el supuesto es $L_g^* X = X$ ):

$$ \dt (L_g \Phi_t L_g^{-1} (p)) = dL_g (\dt \Phi_t (L_g^{-1} p)) = dL_g (L_g^* X(\Phi_t L_g^{-1} p)).$$

Ahora bien, como $L_g^*X (h) = dL_g^{-1}(x(L_g h))$ Esto es simplemente $X(L_g\Phi_t L_g^{-1}p)$ es decir, hemos demostrado $$\dt (L_g \Phi_t L_g^{-1} (p)) = X(L_g\Phi_t L_g^{-1}p).$$ Desde $L_g\Phi_0L_g^{-1}$ es la identidad, esto dice exactamente que $L_g \Phi_t L_g^{-1}$ es el flujo de $X$ .