¿Cómo puedo demostrarlo? $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i^2}{i!}=2e$

Question

He visto en Wolfram Alpha que $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i^2}{i!}=2e$$ pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo.

¿Puede alguien ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Considere $$S=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i^2}{i!}x^i=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i(i-1)+i}{i!}x^i=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i(i-1)}{i!}x^i+\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i}{i!}x^i$$ $$S=x^2\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i(i-1)}{i!}x^{i-2}+x\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i}{i!}x^{i-1}$$ $$S=x^2\left(\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}\right)''+x\left(\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}\right)'=x^2e^x+xe^x$$ Ahora, usa $x=1$ .

Editar

Supongamos que, en lugar de $i^2$ , te enfrentaste a $i^3$ . Sería el mismo enfoque utilizando $$i^3=i(i-1)(i-2)+3i(i-1)+i$$ Asimismo, $$i^4=i(i-1)(i-2)(i-3)+6i(i-1)(i-2)+7i(i-1)+i$$ Tarde o temprano, aprenderás que $$S_k=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i^k}{i!}=B_k\, e$$ donde aparecen los números de Bell. Estos crecen extremadamente rápido $(B_{20}=51724158235372)$ .

Answer 2

$$\eqalign{\sum_{i=0}^\infty \dfrac{i^2 z^i}{i!} &= \sum_{i=0}^\infty z \dfrac{d}{dz} z \dfrac{d}{dz} \dfrac{z^i}{i!}\cr &= z \dfrac{d}{dz} z \dfrac{d}{dz} e^z\cr &= z (z+1) e^z}$$

Ahora sustituye $z=1$ .

Answer 3

El camino más corto:

$$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i^2}{i!}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{(i-1)!}=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i+1}{i!}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac1{(i-1)!}+\sum_{i=0}^{\infty} \frac1{i!}=2\sum_{i=0}^{\infty} \frac1{i!}.$$