La integral de Vardi: $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln (\ln(\tan x))dx $

Question

Pruébalo:

$\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln (\ln(\tan x))dx =\frac{\pi}{2}\ln \left( \frac{\sqrt{2\pi} \Gamma \left(\dfrac{3}{4} \right)}{\Gamma \left(\dfrac{1}{4} \right)}\right)$

Sé que la integral de Vardi se puede evaluar en términos de derivadas de la función zeta de Hurwitz. Me gustaría ver un método que utiliza la diferenciación bajo el signo integral.

Answer 1

Voy a esbozar una forma de transformar la integral en una suma. La suma parece difícil, pero converge y se comprueba numéricamente con el resultado indicado.

Comienza sustituyendo $u=\log{\tan{x}}$ . Entonces

$$du = \frac{1}{\tan{x}} \sec^2{x} \, dx = \left ( \frac{1}{\tan{x}} + \tan{x} \right ) dx = (e^{-u} + e^u) \, dx $$

y

$$\begin{align} \int_{\pi/4}^{\pi/2} dx \: \ln (\ln(\tan x)) &= \int_0^{\infty} du \: \frac{\log{u}}{e^u + e^{-u}} \\ &= \int_0^{\infty} du \: \frac{e^{-u} \log{u}}{1+e^{-2 u}} \\ &= \int_0^{\infty} du \: e^{-u} \log{u} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k e^{-2 k u} \end{align}$$

Invertir el orden de la suma y la integral, lo que se justifica por el Teorema de Fubini (tanto la suma como la integral son absolutamente convergentes). Entonces podemos escribir

$$\begin{align} \int_{\pi/4}^{\pi/2} dx \: \ln (\ln(\tan x)) &= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \int_0^{\infty} du \: e^{-(2 k+1) u} \log{u} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2 k+1} \int_0^{\infty} du \: e^{-u} \log{u} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{\log{(2 k+1)}}{2 k+1} \int_0^{\infty} du \: e^{-u} \\ &= -\frac{\pi}{4} \gamma + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\log{(2 k+1)}}{2 k+1} \\ \end{align} $$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. La suma del signo de la derecha es conocido :

$$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\log{(2 k+1)}}{2 k+1} = \frac{\pi}{4} \gamma + \frac{\pi}{4} \log{\frac{\Gamma{\left ( \frac{3}{4} \right )}^4}{\pi}} $$

Utilice el hecho que

$$\Gamma{\left ( \frac{3}{4} \right )} \Gamma{\left ( \frac{1}{4} \right )} = \sqrt{2} \pi$$

para deducir que

$$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} dx \: \ln (\ln(\tan x)) = \frac{\pi}{2} \log{\left [\sqrt{2 \pi} \frac{\Gamma{\left ( \frac{3}{4} \right )}}{\Gamma{\left ( \frac{1}{4} \right )}}\right ]} $$

Answer 2

De hecho, hay un documento muy bonito de Iaroslav Blagouchine en la que el La integral de Vardi así como numerosas integrales afines, se tratan en detalle (más correctamente deberían llamarse Integrales de Malmsten ).