Funciones holomórficas en superficies de Riemann con límite

Question

Supongamos que $\Sigma$ es una superficie de Riemann compacta con límite y que $f: \Sigma \rightarrow \mathbb{C}$ es holomorfo*. Si $f$ es de valor real a lo largo de $\partial \Sigma$ ¿es necesariamente cierto que $f$ es constante?

*Quiero tener cuidado con lo que quiero decir con "holomorfo" en el límite. Si $A \subset \{z \in \mathbb{C}: \text{Im}(z) \geq 0\}$ , entonces una función $A \rightarrow \mathbb{C}$ es holomorfa si se extiende a una función holomorfa en alguna vecindad abierta de $A$ en $\mathbb{C}$ .

Answer 1

Estoy bastante seguro de que la solución es llenar los detalles en esta dirección :

De su superficie de Riemann $\Sigma$ con límite existe un complejo conjugado $\Sigma^*$ con el mismo espacio topológico y con la gavilla de funciones holomorfas

$\qquad $ $h : \Sigma\to \Bbb{C}$ es holomorfo si $\overline{h}:\Sigma^*\to \Bbb{C}$ es holomorfo.

Los dos pueden ser pegados como espacios topológicos a lo largo de la frontera para dar un espacio $X=\Sigma\cup \Sigma^*$ . Tiene una gavilla de funciones holomorfas que es $$\{ g_1\cup g_2, g_1\in Hol(\Sigma),g_2\in Hol(\Sigma^*),\ g_1|_{\partial \Sigma}=g_2|_{\partial \Sigma^*}\}$$

Si su función $f$ es no-constante entonces la gavilla es no-trivial en los límites pegados así que esto hace que $X$ en una (verdadera) superficie compacta de Riemann (*), pero entonces $f\cup \overline{f}$ es globalmente holomorfa $X\to \Bbb{C}$ por lo tanto constante por el principio del módulo máximo.