¿Es un espacio topológico con un subconjunto denso mínimo, finito?

Question

$(X,\mathcal T)$ es un espacio topológico y $A$ es denso en él y para cada denso $B$ tenemos: $$B\subseteq A\to B=A$$ Es $X$ ¿Finito?

Answer 1

¿Y si $\tau$ es la topología indiscreta, es decir, $\tau=\{\varnothing,X\}$ ? Ahora todo singleton es denso en $X$ . Por lo tanto, si $A=\{x_0\}$ y $B$ es denso en $X$ con $B\subseteq A$ tenemos $B=A$ .

Answer 2

Cualquier espacio topológico infinito de Rango de Cantor-Bendixson uno sin puntos de condensación es un ejemplo: el conjunto de puntos aislados es un subconjunto denso mínimo.

Por ejemplo, tomemos una secuencia $(x_n)$ en un espacio métrico con un número finito de puntos límite $y_1,...,y_m$ . Entonces $X= \{x_n \mid n \geq 0 \} \cup \{y_1,...,y_m\}$ y $A= \{x_n \mid n \geq 0\}$ es un ejemplo.

Otros ejemplos son los ordinales menores que $\omega_1$ .

Answer 3

No necesariamente. Si $( X , \mathcal{T} )$ es un espacio discreto, entonces $X$ es el sólo subconjunto denso. Así que cualquier espacio discreto infinito será un contraejemplo.