$f \in L^1(\mathbb R), f>0$ entonces $|\hat f(y)| < \hat f(0), y \ne 0$

Question

Supongamos que $f$ es una función estrictamente positiva en $L^1(\mathbb R)$ . Mostrar $$ |\hat f(y)| < \hat f(0) \text{, for all } y \ne 0. $$

Usando la monotonicidad de la integral, puedo demostrar $|\hat f(y)| \le \hat f(0)$ .
No veo cómo hacer estricta la desigualdad.

Answer 1

Si $\widehat f(0)=|\widehat f(y)|$ para algunos $y\neq 0$ , dejemos que $\theta$ tal que $|\widehat f(y)|=e^{i\theta}\widehat f(y)$ . Entonces $$\int_{\Bbb R}f(t)dt=\int_{\Bbb R}f(t)e^{i(ty+\theta})dt,$$ que da $$\int_{\Bbb R}f(t)(1-e^{i(ty+\theta)})dt=0=\int_{\Bbb R}f(t)(1-\cos(ty+\theta))-i\int_{\Bbb R}f(t)\sin(ty+\theta)dt.$$ En particular $$\int_{\Bbb R}\underbrace{f(t)(1-\cos(ty+\theta))}_{\geq 0}dt=0,$$ así que $f(t)(1-\cos(ty+\theta))=0$ casi en todas partes. Como $f>0$ casi en todas partes, obtenemos una contradicción.